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点阵。倒易点阵形成的格子为倒格子。则坐标空间的格子为正格子。
???写b1,b2,b3为倒格子基矢，则有
????Kh?h1b1?h2b2?h3b3，
????正格矢： Rl?l1a1?l2a2?l3a3，
??ai?bj?2??ij，
?2???bi?aj?ak，
?3????2??倒格子原胞体积 ??b1?b2?b3??*??。
注意：
Ⅰ、晶面族（h1,h2,h3）的面间距
2?dh1h2h3?? ，
Kh?其中，Kh为倒格矢。结论：密勒指数简单（或说晶面指数低）的晶面族中，面间距d大。所以，这种晶面容易解理（因为体积一定）。
?Ⅱ、一族晶面（h1,h2,h3）与Kh正交。 ⑥ 密堆积、配位数
密堆积 ── 全同小球最紧密的堆积（配位数12，具体晶体举例）。 配位数 ── 最近邻粒子数（分别有12，8，6，4，3，2，具体晶体举例）。 ⑦ 晶系、对称性
晶系7个（注意立方晶系），点群对称32个（注意Td，Oh点群）。 ⑧ 原子散射因子f，几何结构因子F，
原子散射因子：对原子的不同方向x射线散射本领的量度。它与电子分布有关，是反映原子内部电子云分布情况的一个物理量。
几何结构因子：对结晶学原胞的不同方向x射线散射本领的量度。是反映晶体原胞内部原子分布情况或说几何结构的一个物理量。 注意，F的计算，消光条件、衍射强度。 2、几个例子
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① 在直角坐标系中
Ⅰ、写出面心立方格子的倒格子基矢； Ⅱ、写出离原点最近的倒格点坐标；
Ⅲ、写出密勒指数为（100）（111）的两个晶面上的原子排列，并证明垂直于上述各晶面的轴是什么样的对称轴。 ?2??????2????2????b??i?j?k , b?i?j?k, b?i?j?k. 解：123aaa?2????aj?ak?， bi??????倒格点矢：Kn?n1b1?n2b2?n3b3
?????????2???n1?n2?n3?i??n1?n2?n3?j??n1?n2?n3?k ?a??面心立方格子的倒格子是体心立方，所以它的最近邻倒格点有八个。找最近邻倒格点的方法有多种，其中求倒格点矢的距离就是一种：
?2???n1?n2?n3?2??n1?n2?n3?2??n1?n2?n3?2， Kh?a最小的距离，取不为零的最小整数组(因为原点坐标为零)
??ni??1, nj?nk?0; n1?n2?n3??1 . Kh?23.
a2?在直角坐标系中，这八个倒格点的坐标按关系式[?n1?n2?n3,n1?n2?n3,
an1?n2?n3]定为：
2??1 1 1? , ?1 1 1? , ?1 1 1?, ?1 1 1?, a?1 1 1?. ?1 1 1? , ?1 1 1?, ?1 1 1?,
(100),C2,C4
2a (110),C2 2a (111),C3,C6 ② 方俊鑫书中习题10，密勒指数?h,k,l,m?及密勒指数?h,k,m?解释。
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③ 金刚石结构?1 0 0?，及?1 0 0?，?1 1 0?，?1 1 1?面上的原子排列， ?1 1 0? ，
?1 1 1?方向上的各点排列。
2a但是：垂直于（110）面的对称轴?C4， ?C2。 ④ 求面心立方和体心立方晶格中粒子密度最大的晶面。
?解：面间距最大，kh最小，fcc：?1 1 1?面,(由①题可知)
bcc：?1 （同①题方法可得） 1 0?面，
⑤ （我们的考题，也是北大题）画出岩盐NaCl晶体的原胞，指出其所属的布拉伐(Bravais)格子，所属晶系和点群；每个原胞含哪几种原子，各几个；求正格子原胞体积和第一布里渊(Brillouin)区的体积，及魏格纳原胞体积。
解：NaCl晶体是由两种面心立方结构套构成的，其布拉伐格子为面心立方，所属晶系为立方晶系，点群为Oh点群。金刚石（以及半导体单晶）亦具有立方点群Oh对称，同属立方晶系；而ZnS结构虽具有面心立方的布拉伐格子，同属立方晶系，但它属于四面体点群Td对称。
NaCl晶体属于复式格子，每个原胞有两种原子，各一个。如果按单胞计算，面心立方结构中共有八个原子，每种四个。
如果晶格常数为a，则其基矢为
a???a1?j?k ,
2a???a2?k?i ,
2a???a3??i?j?，
2a
2a????相应地，正格子原胞体积为
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???1??a1?(a2?a3)?a3，也是魏格纳原胞体积。
4第一布里渊区的体积为：
(2?)332?3???3。
?a?如果说第三布里渊区的体积，其实算法是一致的。
T群和O群的解释：有二类高次轴 Cn,Cm（n,m?2）
27个简单点群中都有一个n重主轴（选为竖直轴）（n可以?3），在水平面上可有n个2重轴。还有五个较高对称性的群（复式格子，如金刚石，NaCl等），它们有一个以上的高阶对称轴（n?3），即高对称性的主轴不止一条，这五个群即为T群和O群。
T 群（T,Th,Td），也叫四面体群，O群（O,Oh）叫做八面体群。
12T：正四面体，12个元素E,4C3，12个纯真转动。 ,4C3,3C2（其中C2为对棱）
?? ，其中Th:?T?(E,J~Ci)，24个群元素（立方体群）
??Ci为中心反演群。J（x??x)
223Td?{E,3C4,4C3,4C3,3JC4,3JC4,6JC2}, 24个群元，其
中后三项表示对棱操作。如闪锌矿ZnS，GaAs等的点
群对称性属四面体群对称。关于对棱操作的解释：因为对于四面体，反演和四面转动都不是对称操作，但是相继利用这两个操作，则使四面体保持不变（只是顶部位置变）。
O群（O,Oh），也叫真转动立方群（真转动八面体群）（应有模型）。
如果把正八面体构造得使它的顶角在立方体的六面面心上，则可看出，正八面体与立方体有相同的对称性，24个群元（真转动）。
1322O?{E,3C4,3C4,3C4,6C（对棱），4C3，4C（体对角线）} 23??Oh?O?(E,J)48个群元，J（x??x)
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