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ω1 Ⅰ
vAv B A B Ⅱ ω1
ω2 vA vB Ⅱ ω2 Ⅰ A B 一、齿轮传动
两齿轮啮合圆的接触点，没有相对滑动。
vA= vB，∴R1ω1= R2ω2，传动比：i12=ω1/ω2= R2/ R1=Z2/Z1
上式也适用于圆锥齿轮
传动、摩擦轮传动等。
若考虑转向：i12=ω1/ω2=±R2/ R1=±Z2/Z1，内啮合为正号，外啮合为负号。
二、带轮传动 B’ v'A vA 并假定胶带与v'B 如不考虑胶带的厚度， A’ B 带轮间无相对滑动。 ω vB 2A ω1 则：vA= v’A = v’B = vB Ⅰ Ⅱ ∴R1ω1= R2ω2 ∴i12=ω1/ω2= R2/ R1
例6.3 减速箱由四个齿轮构成，齿轮
Ⅱ、Ⅲ安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为：Z1=36、Z2=112、Z3=32和Z4=128。n1=1450r/min，求从动轮Ⅳ的转速n4。
n1 Ⅰ 解：
Ⅱ ∵齿轮Ⅱ、Ⅲ安装在同一轴上，∴ω2=ω3 Ⅲ Ⅳ ?1?1?2?3?1?3Z2Z4i???????? 14 ?4?2?3?4?2?4Z1Z3 ∴
112128???12.43632
nn1450i14?1?12.4n4?1??117n4i1412.4∴，∴r/min
Ⅳ轮与Ⅰ轮的转向相同。
n2，n3 n4 i14??1?1?2?3????4?2?3?4
第七章 点的合成运动
教学要求
1、掌握运动合成与分解的基本概念和方法；
2、能应用点的速度合成定理和加速度合成定理求解平面问题。
前两章分析的点或刚体相对一个定参考系的运动，可称为简单运动。物体相对不同参考系的运动是不相同的。研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，可称为复杂运动或合成运动。
§7-1 相对运动2牵连运动2绝对运动
例沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上点M的运y’ y 物体相对不同参考系的运动是不相同的，动，相对车身其轨迹是一个圆，相对地面其轨迹是旋轮线。通过观察可以发现，物体对一个
参考系的运动可以由几个运动组合而成。 M O’ 一、运动的合成与分解
x’
点M相对地面的旋轮线运动(分解)→ ←(合成)点M
O x 相对车厢的圆周运动+车厢相对地面的平移
二、基本概念
两个参考系：定参考系oxy—一般固连于地面 动参考系o’x’y’—固连在相对地球运
动的参考体上
三种运动：绝对运动—动点相对定系的运动 相对运动—动点相对动系的运动 牵连运动—动系相对定系的运动 三种速度、加速度：
绝对：速度va；加速度aa，相对：速度vr；加速度ar，牵连：速度 ve；加速度ae 牵连速度和牵连加速度是指动系上与动点重合的那一点的速度和加速度。 例7.1 已知AB杆的ω、α，试分析点M的三种运动、速度、加速度。
va v aaτ 解：1、动点—小圆环M ear B B 定系—固连于地面 M n M α ae ω α ω 动系—固连于AB杆 vr τn a ae A A 2、运动分析 a 绝对运动—M沿大圆环的圆周运 动
相对运动—M沿AB杆的直线运动 牵连运动—杆AB绕A点的转动
3、速度：va、vr、ve如图
4、加速度aa=aaτ+aan；ar；ae=aeτ+aen如图 三、运动方程和轨迹
动点—M，定系—oxy，动系—o’x’y’
绝对运动方程：x=x(t)，y=y(t)，消去t得绝对运动
轨迹
相对运动方程： y y’ x’=x’(t)，y’=y’(t)，消去t得相对运动轨迹
M y 牵连运动方程(动系相对定系)：
x’ y’ xo'= xo'(t)，yo'= yo'(t)，?=? (t) x’ ? yo' 三者间的关系： O’ x= xo'+x’cos?- y’sin? O x x xo'
y= yo'+ x’sin?+ y’cos?
例7.2车削工件端面，oxy为定系，工件以等角速度ω转动，刀尖M沿x轴往复运动，运动方程为x=bsinωt。求车刀在工件端面上切出的痕迹。
解：动点—M，动系o’x’y’—固定在工件上 y y’ 由图：x’=xcosωt，y’= -xsinωt
∵x=bsinωt x’
ωt ∴x’= bsinωt cosωt=(b/2) sin2ωt M y’= - bsinωt sinωt= -(b/2)(1-cos2ωt) O x 上式中消去时间t得刀尖的相对轨迹方程：
(x’)2+(y’+b/2)2=b2/4——车刀在工件端面上切出的痕迹是
一个半径为b/2，圆心在Oy’轴上，圆周过工件中心O。
§7-2 点的速度合成定理
一、定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
即：va=ve+vr B1
B 在金属丝AB上套一小圆环M M1 动点—M，动系—AB，定系—地面
瞬时t：动系在AB处 M’1 经过极短的时间间隔△t后：
A1 M(M’) 动系运动到A1B1，动点M运动到M1
A 动系上与动点重合的牵连点M’运动到M’1
弧MM1、MM1’、M’1M1分别为绝对轨迹、牵连轨迹、相对轨
迹。
矢量MM1、MM1’、M’1M1分别为绝对位移、牵连位移和相对位移。 由图：MM1=MM’1+M’1M1
MM1MMMMlimlim∴?t?0?t=?t?0?t+?t?0?t ∴va=ve+vr证毕。
绝对速度是牵连速度和相对速度构成的平行四边形的对角线。 二、点的速度分析
步骤：1、确定动点、定系、动系。 lim动点相对动系、定系都要有运动，相对运动轨迹要易于确定，以利问题的求解。
????????'1????'11常见情况的动点动系的选择：
(1)两运动的物体，甲物体上始终有一点与乙物体接触且在乙物体上运动。动点：甲物体上的接触点；动系：固连于乙物体。
(2)一个单独的点(动点)在另一个运动的物体(动系)上运动。见例8.1。
(3)两个互不相关的点，求二者的相对速度，选其中一点为动点，另一点固连平移的动参考系。 2、三种运动分析
3、根据速度合成定理：va=ve+vr，作速度矢量图，求解未知量。绝对速度是牵连速度和相对速度构成的平行四边形的对角线。
例7.3 已知OA以匀角速度ω绕轴O转动，OA=r，OO1=l。求当OA在水平位置时摇杆O1B的角速度ω1。刨床急回机构，曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。 解：1、动点—OA上的A点，动系—固定于O1B
2、运动分析
va B 绝对运动是以O为圆心，以OA为半径的圆周运动 ω ve vr 相对运动是沿O1B的直线运动 O 牵连运动是O1B绕O1的摆动 A 3、速度分析，画速度矢量图，求解。
? va = ve + vr 大小：ωr ？ ？ O1 ω1 方向：⊥OA向上 ⊥O1A 沿O1B
va为由ve和vr为边构成平行四边形的对角线。 由图：ve= vasin?=ωr(r/O1A)= ωr2/O1A
∵ve=ω1O1A，∴ω1=ωr2/O1A2=ωr2/(r2+ l2) 转向：逆
例7.4 已知凸轮半径R，偏心距为e，以匀角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求图示位置杆AB的速度。 解：因AB杆作平移，各点速度相同。
B 1、动点—AB的端点A，动系—固定于凸轮
va 2、运动分析 vr θ 绝对运动是沿AB的直线运动 A ve 相对运动是沿凸轮圆周的曲线运动
R 牵连运动是凸轮绕O的转动 θ O C e 3、速度分析，画速度矢量图，求解。
ω va = ve + vr
大小： ？ ωOA ？
方向：沿AB ⊥OA向右 沿凸轮圆周切线
由图：ve/va=tgθ=OA/e，∴va= vee/OA=ωOAe/OA=ωe向上。
例7.5 A、B两船，在静水中沿夹角为θ的两直线航行，已知A船速度vA，船B在船A的右侧，AB⊥vA。求：B船速度及B船相对于A船的速度。 解：1、动点—B，动系—固定于A上的平移参考系 2、运动分析 y' 绝对运动是B沿斜直线运动 va 相对运动是B水平向右运动 v e vA x' 牵连运动是o’x’y’的平移 A v rO' B 3、速度分析，画速度矢量图，求解。
va = ve + vr
θ 大小： ？ vA ？
方向：沿OB ∥OA 向右 O 由图：vacosθ= ve=vA，∴va= vA/cosθ，方向如图
vr/ve=tgθ，∴vr=vetgθ=vAtgθ，方向向右
§7-3 点的加速度合成定理
一、定理
动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。即：aa=ae+ar+ac，ac=2ωe3vr