发布时间 : 星期六 文章第3章(1) 插值法与最小二乘法更新完毕开始阅读
四、插值余项与误差估计
若在[a,b]上用Ln(x)近似f(x)，则其截断误差为
Rn(x)?f(x)?Ln(x)
Rn(x)也称为插值余项。
定理2 （插值多项式的余项）设f(x)在[a,b]上连续，f(n?1)(x)在(a,b)内存在，节点
(n)a?x0?x1???xn?b，Ln(x)是满足条件
Ln(xk)?f(xk)，k?0,1,?,n
的插值多项式。则对任何x?[a,b]，插值余项
f(?)Rn(x)?f(x)?Ln(x)?wn?1(x) (n?1)!这里?依赖于x，
(n?1)wn?1(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)。
R(x)?f(x)?L(x)nn证明 因为有n?1个根x0,x1,?,xn?[a,b]，可设
Rn(x)?f(x)?Ln(x)?K(x)wn?1(x)，
对于给定的x?[a,b]，构造辅助函数
?(t)?f(t)?Ln(t)?K(x)(t?x0)(t?x1)?(t?xn)
x,x,?,x,x?(t)n?201n则有个互异根。根据
Roll定理，??(t)有n?1个互异根，???(t)有n个(n?1)(t)有一个根，即存在??(a,b)，互异根，?，?
?(n?1)(?)?f(n?1)(?)?(n?1)!K(x)?0
所以
f(?)K(x)?(n?1)!
从而
(n?1)f(?)Rn(x)?f(x)?Ln(x)?wn?1(x)。 (n?1)!由于??(a,b)的位置不能确定，故余项的大小难以确定，通常给出截断误差限。令
(n?1)(n?1)Mn?1?maxfx?[a,b](x)
则插值多项式Ln(x)近似f(x)的误差限为
Mn?1Rn(x)?wn?1(x)。 (n?1)!
例1 已知
sin0.32?0.314567,sin0.34?0.333487,sin0.36?0.352274， 用线性插值以抛物插值计算sin0.3367估计截断误差。
解 由题意取
x0?0.32,y0?0.314567x1?0.34,y1?0.333484x2?0.36,y2?0.352274 （1）用线性插值计算。
sin0.3367?L1(0.3367)
?y0.3367?x10.3367?x00x?y10?x1x1?x0
?0.330365。
的值，并