发布时间 : 星期一 文章(完整版)第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)更新完毕开始阅读
14(x?2)?9(y?1)?(z?4)?0
即：
14x?9y?z?15?0
二、 平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示。
平面的一般方程为：
Ax?By?Cz?D?0
几个平面图形特点：
1）D＝0：通过原点的平面。
2）A＝0：法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平面。 同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。
3）A＝B＝0：方程为CZ?D?0，法线向量{0,0,C}，方程表示一个平行于xoy面的平面。
同理：AX?D?0和BY?D?0分别表示平行于yoz面和xoz面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：5x?6y?7z?11?0都表示一个平面，该平面的法向量为n?{5,6,?7}
例2：设平面过原点及点(6,?3,2)，且与平面4x?y?2z?8垂直，求此平面方程。 解：设平面为Ax?By?Cz?D?0，由平面过原点知D?0
由平面过点(6,?3,2)知6A?3B?2C?0，
?2?n?{4,?1,2} ?4A?B?2C?0 ?A?B??C
3所求平面方程为2x?2y?3z?0三．两平面的夹角 定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。
设平面?1:A1x?B1y?C1z?D1?0，?2:A2x?B2y?C2z?D2?0
??n1?{A1,B1,C1}， n2?{A2,B2,C2}按照两向量夹角余弦公式有：
cos??|A1A2?B1B2?C1C2|A1?B1?C1?A2?B2?C2222222
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三、几个常用的结论
设平面1和平面2的法向量依次为n1?{A1,B1,C1}和n2?{A2,B2,C2} 1) 两平面垂直：A1A2?B1B2?C1C2?0 2) 两平面平行：
（法向量垂直）
A1B1C1?? A2B2C2 （法向量平行）
3) 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点P0(x0,y0,z0)，平面的方程为
Ax?By?Cz?D?0，则点到平面的距离为
d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222
例3：研究以下各组里两平面的位置关系：(1)?x?2y?z?1?0,y?3z?1?0
(2)2x?y?z?1?0,(3)2x?y?z?1?0,解：(1)cos???4x?2y?2z?1?0 ?4x?2y?2z?2?0
|?1?0?2?1?1?3|(?1)?2?(?1)?1?31 6022222?160，
两平面相交，夹角??arccos n1?{2,?1,1}，n2?{?4,2,?2} ?两平面平行
??2?11 ???42?2?M(1,1,0)??1（3）?M(1,1,0)??2
两平面平行但不重合。
2?1?1?? ?422 两平面平行
?M(1,1,0)??1M(1,1,0)??2 所以两平面重合小结：平面的方程三种常用
表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。
两平面的夹角以及点到平面的距离公式。 作业：
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第四节 空间直线及其方程
教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程
2.直线与平面的综合题
教学难点：1.直线的几种表达式
2.直线与平面的综合题
教学内容：
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：
?A1x?B1y?C1z?D1?0 ??A2x?B2y?C2z?D2?0二、空间直线的对称式方程与参数方程
平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点M0(x0,y0,z0)和它的一方向向量s?{m,n,p}，设直线上任一点为
M(x,y,z)，那么M0M与s平行，由平行的坐标表示式有： x?x0y?y0z?z0?? mnp此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）
如设
x?x0y?y0z?z0???t mnp就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）
?x?x0?mt??y?y0?nt ?z?z?pt0?三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。 例1：用对称式方程及参数方程表示直线??x?y?z?1?0
?2x?y?3z?4?0 15
解：在直线上任取一点(x0,y0,z0)，取x0?1 ??解得?y0?30z?6?00?0y?z?2?0y0?0,z0??2，即直线上点坐标(1,0,?2)
因所求直线与两平面的法向量都垂直取s?n1?n2?{4,?1,?3}对称式方程为：
?x?1y?0z?2?x?1?4t参数方程：?y??t例2 一直线过点A(2,?3,4)，且和y轴垂直??4?1?3??z??2?3t相交，求其方程 解：因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,?3,0)
s?BA?{2,0,4}，
所求直线方程：
?x?2y?3z?4两直线的夹角 ??204两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
设两直线L1和L2的方向向量依次为s1?{m1,n1,p1}和s2?{m2,n2,p2}，两直线的
夹角可以按两向量夹角公式来计算
cos??m1m2?n1n2?p1p2m?n?p?m?n?p212121222222
两直线L1和L2垂直： m1m2?n1n2?p1p2?0 （充分必要条件） 两直线L1和L2平行：
m1n1p??1 m2n2p2 （充分必要条件）
例3：求过点(?3,2,5)且与两平面x?4z?3和2x?y?5z?1的交线平行的直线方程 解：设所求直线的方向向量为s?{m,n,p}，根据题意知直线的方向向量与两个平面的法向量都垂直，所以可以取s?n1?n2?{?4,?3,?1}所求直线的方程三、直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角?(0???与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为
x?3y?2z?5?? 431?2)称为直线
?。 2设直线L的方向向量为s?{m,n,p}，平面的法线向量为n?{A,B,C}，直线与平面的夹角为?，那么
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