发布时间 : 星期五 文章(完整版)第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)更新完毕开始阅读
第二节 数量积 向量积
教学目的:让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用,掌握向量平行、垂
直等重要的结论,为空间曲面等相关知识打好基础。
教学重点:1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用
教学难点:1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论 教学内容:
一、数量积:
a) 定义:a?b?abcos?,式中?为向量a与b的夹角。 b) 物理上:物体在常力F作用下沿直线位移s,力F所作的功为
W?Fscos?
其中?为F与s的夹角。
2c) 性质:Ⅰ.a?a?a
Ⅱ.两个非零向量a与b垂直a?b的充分必要条件为:a?b?0 Ⅲ. a?b?b?a
Ⅳ. (a?b)?c?a?c?b?c Ⅴ. (?a)?c??(a?c) d) 几个等价公式:
Ⅰ.坐标表示式:设a?{ax,ay,az},b?{bx,by,bz}则
?为数
a?b?axbx?ayby?azbz
Ⅱ.投影表示式:a?b?aPrjab?bPrjba Ⅲ.两向量夹角可以由cos??a?b式求解 abe) 例子:已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求?AMB
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提示:先求出向量MA及MA,应用上求夹角的公式。 二、向量积:
a) 概念:设向量c是由向量a与b按下列方式定义:
??
c 的模c?absin?,式中?为向量a与b的夹角。
c的方向垂直与a与b的平面,指向按右手规则从a转向b。 ※注意:数量积得到的是一个数值,而向量积得到的是向量。 b) 公式:c?a?b f)
性质:Ⅰ.a?a?0
Ⅱ.两个非零向量a与b平行a∥b的充分必要条件为:a?b?0 Ⅲ. a?b??b?a
Ⅳ. (a?b)?c?a?c?b?c Ⅴ. (?a)?c?a?(?c)??(a?c) c) 几个等价公式:
Ⅰ.坐标表示式:设a?{ax,ay,az},b?{bx,by,bz}则
?为数
a?b?(aybz?azby)i?(azbx?axbz)j?(axby?aybx)k
iⅡ.行列式表示式:a?b?axbxjaybykaz bzd) 例子:已知三角形ABC的顶点分别为:A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7),求三角
形ABC的面积。
解:根据向量积的定义,S?ABC?11ABACsin?C?AB?AC 22由于AB={2,2,2},AC={1,2,4}
i因此AB?AC?2jk22?4i?6j?2k
124于是S?ABC?
112AB?AC?4?(?6)2?22?14 22 10
小结: 向量的数量积(结果是一个数量)向量的向量积(结果是一个向量)(注意共线、
共面的条件) 作业:
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第三节 平面及其方程
教学目的:介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面,平面是本书非常重
要的一节,本节让学生了解平面的各种表示方法,学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法,会求出各种位置上的平面,了解平面与其法向量之间的关系。
教学重点:1.平面方程的求法 2.两平面的夹角
教学难点:平面的几种表示及其应用 教学内容:
一、平面的点法式方程
1.平面的法线向量定义:垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。
平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。
2.平面的点法式方程
已知平面上的一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法线向量n?{A,B,C},对平面上的任一点
M(x,y,z),有向量M0M?n,即
n?M0M?0
代入坐标式有:
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0
此即平面的点法式方程。
(1)
例1:求过三点M1(2,-1,4)、M2(-1,3,-2)和M3(0,2,3)的平面方程。
解:先找出这平面的法向量n,
i
jk?1n?M1M2?M1M3??34?6?14i?9j?k
?23
由点法式方程得平面方程为
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