发布时间 : 星期四 文章第9章 弯曲应力与弯曲变形 - 图文更新完毕开始阅读
将式(b)代入(a),得d2wM?x??2?dxEI(c)由前述,当挠曲线开口向上时,弯矩M为正;另一方面,在上述坐标系中,开口向上曲线的二阶导数d2w与弯矩M同时为负。这样式(c)两端的符号一致,所以式(c)应写为2dxd2wdx2也为正。同理,当挠曲线开口向下(凹向下)时,其二阶导数d2wM?x??2dxEI(9 –19)这就是挠曲线近似微分方程。对方程(9 –19)逐次积分可得转角θ和挠度w。9.6 用积分法求弯曲变形对等截面梁,EI是常量。将微分方程式(9–19)积分一次得转角方程dw1(9 –20)???M?x?dx?C?dxEI再积分一次得挠曲线方程1(9 –21)w?Mxdxdx?Cx?D??EI??式中C,D是积分常数,可利用边界条件(即梁上某些截面的已知位移)确定。例如,在铰支座处挠度等于零;在固定端处,挠度和转角均等于零。例9 –5图9 –11 所示悬臂梁,试求其自由端B的转角和挠度。解:(1)取坐标轴如图,列弯矩方程M?x???F?l?x?(2)建立微分方程并积分挠曲线近似微分方程wAxlθFBwBxF?l?x?dw??2dxEI2图9-11积分一次得dw1?F2?????x?Flx?C?dxEI?2?再积分一次得(a)1?F3Fl2?w??x?x?Cx?D?EI?62?(3)确定积分常数在固定端A处转角和挠度均为零,即(b)当x = 0时,θ= 0,w = 0。分别代入(a),(b),得C= 0,D= 0故得转角方程1?F2???x???x?Flx?EI?2?(c)挠曲线方程1?F3Fl2?w?x???x?x?EI?62?(d)(4)求,?BwB将x = l代入式(c),(d),有2?1?Fl2Fl?B???Fl2???EI?22EI?()(?)1?Fl3Fl3?Fl3wB??????EI?62?3EI9.7 用叠加法求弯曲变形在小变形且材料服从胡克定律的条件下,所导得的式(9 –19)是线性微分方程,于是其解可叠加。即梁在几个载荷共同作用下产生的变形,等于各个载荷单独作用时产生的变形的代数和,这种方法称为叠加法。用叠加法求梁的变形时,需已知梁在简单载荷作用下的变形。为此列表9 –1,以便查用。例9 –6用叠加法求图9 –12a所示外伸梁外伸端D的挠度与转角。EI为已知常数,F1=F2=F。F2Al2F1Bl2解:可以将原外伸梁的变形看作是图9 –12b,c 两种简单情况的叠加。当F1单独作用时(图9 –12b)由表9–1第11栏查出D截面的转角单击查表F1aFa??D?F1???2l?3a????2l?3a?(6EI6EID点的挠度CDa(a))?wD?F1F1aFa???l?a????l?a?3EI3EI22( ?)