发布时间 : 星期四 文章第9章 弯曲应力与弯曲变形 - 图文更新完毕开始阅读
设想梁由无数纵向线段组成,所有纵向线段只受到轴向拉伸或压缩,相互之间无挤压。弯曲变形后上侧线段缩短、下侧线段伸长,由变形的连续性可知,其间必有一层线段长度不变,称该层为中性层。中性层和横截面的交线,称为中性轴(图9 –2c),变形时横截面绕其中性轴转动。在对称弯曲的情况下,梁的变形对称于纵向对称面。因而中性轴必垂直于横截面内的纵向对称轴。用横截面m-m和n-n从梁中切出长为dx的微段(图9-2b)。设截面m-m与n-n之间的相对转角为dθ,中性层Memd?nO'a'b'ρMea'O'yb'mo?o?的中性层b'(b)nzy中性轴曲率半径为ρ。取轴y和z轴分别沿横截面的对称轴和中性轴(图9 –2c)。距中性层为y处的纵向线段bb原长为dx,它等于ρdθ,变形后弧线的长度为(ρ+y)b?b?b'纵向对称轴dθ。纵向线段bb的线应变为y(c)??y?d???d?????d??y图9–2?(a)对于确定截面ρ是常量,可见各纵向线段的应变与它到中性轴的距离y 成正比。2. 物理关系前述设纵向线段仅受轴向拉伸或压缩,因此当应力不超过比例极限时,由胡克定律知y(b)??E??E?上式即为横截面上正应力的分布规律。横截面上任z一点处的正应力与它到中性轴的距离y成正比,y值相同的点,正应力相等;中性轴上各点的正应力为零。OdAM其分布情况如图9–3所示。yxσ中性轴虽然式(b)给出了正应力的分布规律,但须确定中性轴的位置与曲率半径ρ的值,方能计算正应力。这需要通过应力与内力间的静力关系来解决。3. 静力关系y图9–3梁纯弯曲时横截面上只有正应力,横截面上所有微内力(σdA)构成一空间平行力系(图9 –3)。且知横截面上无轴力,仅x y平面内有弯矩M,因此FN???dA?0A(c)(d)M???ydAA将式(b)代入式(c),得?EA?ydA?E??AydA?E?Sz?0?式中Sz??AydA为截面对z轴的静矩(见5.3.1)。由于E为常数且不等于零,故必有Sz?0因此可得结论:中性轴必通过横截面的形心。将式(b)代入式(d),得?AEy?AydA?E??AydA?2E?Iz?M(e)式中Iz??y2dA为截面对中性轴z的惯性矩。于是(e)式可以写成M??EIz的抗弯刚度,EIz值越大,梁的弯曲变形越小。将式(9 –1)代入式(b),得1(9 –1)式(9 –1)是计算梁变形的基本公式,可确定中性层的曲率。式中EIz称为梁My??IZ(9 –2)这就是纯弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式。弯曲变形时梁凹入一侧受压,凸出一侧受拉。因此,应用公式(9 -2)时,M与y均可以绝对值代入,正应力的符号可由梁的变形情况确定。由式(9 –2)可知,梁的最大弯曲正应力应在截面的上、下边缘处,因此Mymax?Iz?max令(9 –3)IzWz?ymax(9 –4)则式(9 –3)可写为?maxM?Wz(9 –5)式中Wz称为截面对于中性轴z的抗弯截面系数。