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第八章 控制系统的状态空间分析与综合
经典控制理论主要以传递函数为基础，采用复域分析方法，由此建立起来的频率特性和根轨迹等图解解析设计法，对于单输入—单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地使用。但传递函数只能描述线性定常系统的外部特征，并不能反映其全部内部变量变化情况，且忽略了初始条件的影响，其控制系统的设计建立在试探的基础之上，通常得不到最优控制。复域分析法对于控制过程来说是间接的。
现代控制理论由于可利用数字计算机进行分析设计和实时控制，因此可处理时变﹑非线性﹑多输入-多输出系统的问题。现代控制理论主要以状态空间法为基础，采用时域分析方法，对于控制过程来说是直接的。它一方面能使设计者针对给定的性能指标设计出最优控制系统，另一方面还可以用更一般的输入函数代替特殊的所谓“典型输入函数”来实现最优控制系统设计。随着控制系统的高性能发展，最优控制﹑最佳滤波﹑系统辨识﹑自适应控制等理论都是这一领域研究的主要课题。
在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部运动状态，而且可以方便地处理初始条件。
第一节 控制系统的状态空间描述
一、状态空间的基本概念 1． 状态和状态变量
表征系统运动的信息称为状态，足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量。一个用n阶微分方程式描述的系统，就有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。因此，可以说该系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。
状态变量的选取具有非唯一性，既可用某一组又可用另一组数目最少的变量作为状态变量。状态变量不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义，但实用时毕竟还是选择容易量测的量作为状态变量，以便满足实现状态反馈﹑改善性能的要求。
状态变量的一般记号为x1(t),x2(t)?,xn(t)。 2． 状态向量
把描述系统状态的n个状态变量x1(t),x2(t)?,xn(t)看作向量x(t) 的分量，则向量
x(t)称为n维状态向量，记作﹕
?x1(t)??x(t)?2? 或x(t)??x(t),x(t),?,x(t)?T x(t)??12n?????x(t)?n?3． 状态空间
以n个状态变量作为坐标轴所构成n维空间称为状态空间。系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点来表示。随着时间的推移，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。
4． 状态方程
由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。由于状态变量的选择具有非唯一性，故状态方程也具有非唯一性。对于一个具体的系统，当按可量测的物理量来选择状态变量时，状态方程往往不具备某种典型形式，当按一定规则来选择状态变量时则具有典型形式，从而给研究系统特性带来方便。尽管状态方程形式不同但它们都描述了同一个系统，不同形式的状态方程之间实际上存在着某种线性变换关系。
用图9—1所示的R?L?C网络说明如何用状态变量描述这一系统。
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图8-1 R?L?C电路
此系统有两个独立储能元件，即电容C和电感L，故用二阶微分方程式描述该系统，所以应有两个状态变量。状态变量的选取，原则上是任意的，但考虑到电容的储能与其两端的电压uc有关，电感的储能与流经它的电流i有关，故通常就以uc和i作为此系统的两个状态变量。
根据电工学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程式﹕
duc?idt
diL?Ri?uc?udt1?c?iuC 亦即 （8-1）
???1uc?Ri?1uiLLL设状态变量x1?uc,x2?i，则该系统的状态方程为
1?1?x2xC
1R1?2??x1?x2?uxLLLC写成向量矩阵形式为
1???0?0?1??x??x??1C ???? ??1?u （8-2a）???1R???xx?2??????2??L?L??L??Ax?bu 简记为x1???0?0???x1?C,b??? 式中 x???,A??1??1R?x?2??????L?L??L?c，则该系统的状态方程为 ?c作为两个状态变量，即令x1?uc,x2?u若改选uc和u?1?x2x 即
1R1 ?2??xx1?x2?uLCLLC?1??0?x ????1?2????x?LC1??x??0?R??1???1?u （8-2b） ???x2???L??LC?比较式（8-2a）和式（8-2b），显然，同一系统，状态变量选取的不同，状态方程也不同。
5． 输出方程
系统输出量与状态变量﹑输入量的关系称为输出方程。输出量由系统任务确定或给定。
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如在图9—1系统中，指定x1?uc作为输出，输出一般用y表示，则有
y?uc （8-3） 或 y?x1
式（8-3）就是图8-1系统的输出方程，它的矩阵表示式为
?x1? y??10???
?x2?或 y?cx
6． 状态空间表达式
状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达式，它既表征了输入对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，所以状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。由于系统状态变量的选择是非唯一的，因此状态空间表达式也是非唯一的。
设单输入—单输出线性定常连续系统，其状态变量为x1(t),x2(t)?,xn(t)，则状态方程的一般形式为
?1?a11x1?a12x2???a1nxn?b1ux?2?a21x1?a22x2???a2nxn?b2ux （8-4）
???n?an1x1?an2x2???annxn?bnux输出方程则有如下形式
y?c1x1?c2x2???cnxn （8-5） 用向量矩阵表示时的状态空间表达式则为
?1??a11?x?x?2??a21????????????n??an1?xy??c1c2?a1n??x1??b1??x??b?a22?a2n???2???2?u??????????????an2?ann??xn??bn?
?x1??x??cn??2???????xn? （8-6）
a12简写为
??Ax?buxy?cx式中，x为n维状态变量；A为系统内部状态的联系，称为系统矩阵或系数矩阵，为n?n方阵；b为输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，为n?1的列阵；c为1?n输出
矩阵。
对于一个具有r个输入﹑m个输出的复杂系统，此时的状态方程变为
?1?a11x1?a12x2???a1nxn?b11u1?b12u2???b1rurx?2?a21x1?a22x2???a2nxn?b21u1?b22u2???b2rurx???n?an1x1?an2x2???annxn?bn1u1?bn2u2???bnrurx
至于输出方程，不仅是状态变量的组合，而且在特殊情况下，还可能有输入矢量的直
接传递，因而有如下的一般形式：
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y1?c11x1?c12x2???c1nxn?d11u1?d12u2???d1rur
y2?c21x1?c22x2???c2nxn?d21u1?d22u2???d2rur
??ym?cm1x1?cm2x2???cmnxn?dm1u1?dm2u2???dmrura12因而多输入—多输出系统状态空间表达式的矢量形式为
?a1n??x1??b11b12?b1r??u1??x??b??u?a22?a2n?b?b221222r???????2?????????????????????an2?ann??xn??bn1bn2?bnr??ur? （8-7）
c12?c1n??x1??d11d12?d1r??u1??x??d??u?c22?c2n?d?d221222r???????2?????????????????????cm2?cmn??xn??dm1dm2?dmr??ur???Ax?Bux简写为
y?Cx?Du式中，x和A与单输入—单输出系统相同，分别为n维状态矢量和n?n系数矩阵；u为r维输入（或控制）矢量；y为m维输出矢量；B为n?r控制矩阵；C为m?n输出矩阵；D为m?r直接传递输入矩阵，也称为关联矩阵。
二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
从元件或系统所遵循的物理定律来建立其微分方程，继而选择有关物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式，这是建立实际元件或系统状态空间表达式的实用方法。系统可以用结构图或微分方程来表示，下面分别介绍从系统结构图和微分方程出发建立状态空间表达式的方法。
1．由系统结构图出发建立状态空间表达式
这种方法首先将系统结构图中的各个环节变换成模拟结构图。为了简便，这里用结构图代替模拟计算机的详细模拟图。即将结构图中各个环节变换为仅由积分器、加法器、比例器和一些带箭头的线段组成的图形。其次，将每一个积分器的输出选作一个状态变量xi，则
?1??a11?x?x?2??a21????????????n??an1?x
?y1??c11?y??c?2???21????????ym??cm1?i；然后由模拟结构图直接写出系统的状态方程和输出方程。下面举例说明。 其输入为x[例8-1] 系统结构图如图8-2a所示，输入为u，输出为y。试求其状态空间表达式。 解 图8-2a所示系统中，有一个含有零点的环节，先将其展开成部分分式，即
s?zz?p?1?，从而得到图8-2b所示的等效结构图，其模拟结构图如图8-2c所示。从s?ps?p图可得知
?1??ax1?K2x2x?2??K1K3x1?K1x3?K1ux
?3??(z?p)K3x1?px3?(z?p)uxy?x1写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为
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