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《概率论与随机信号》自学报告
摘 要：简述自己对随机变量、大数定理、中心极限定理、随机序列等部分自学内容的理解分析以及自我的归纳和总结，并且以中心极限定理在军事上的应用为例，分析中心极限定理在实际中的应用。
1.自学内容小结
1.1随机变量的特征函数
随机变量X的数字特征只能反应其取值的某些特征，而特征函数则与分布函数一一对应，而又比分布函数具有较强的分析性。它实际上是求由X构造的复值随机变量的期望，其计算时与傅氏变换类似。便于求随机变量的各阶矩，尤其简便于求独立随机变量之和的概率密度。
1.2大数定理和中心极限定理
大树定理和中心极限定理都是用来研究大量随机现象统计规律性。大数定理说明了大量重复试验的平均结果具有稳定性，因而我们在试验次数很多时，可以用频率代替概率。尤其是当有多个随机变量影响系统结果时，中心极限定理指出出，若这些变量相互独立，则其系统结果极限与各个变量之间存在唯一性规律。并且随着样本数量的增多，随机变量结果趋近于正态分布。
1.3随机序列及其统计特性
随机序列是对连续随机过程等间隔采样得到的一组矩阵，其统计特性可完全由其概率分布函数表征，它的自相关阵具有对称性、半正定性。其性质对于随机信号的分析和处理具有很重要的意义，在进行计算机处理研究时有很大作用。 1.4随机序列的功率谱密度
随机序列的功率谱密度与连续随机过程类似，与相关函数互为傅里叶变换对，是从频率反映其统计特性，表示其平均功率在整个频率轴上的分布情况。应用中，其频域分析可以用来研究频率结构、带宽和系统相互作用的问题。 1.5随机序列通过离散线性系统
该过程类似一个数字滤波过程，ARMA模型即通过一带反馈的滤波器，适合表示功率谱既有深谷又有尖峰的随机信号；MA模型即通过一不带反馈的滤波器，适合仅有深谷的随机信号；而AR模型则适合仅有尖峰的随机信号。从而也可看出RA模型和MA模型其实是ARMA模型的特例，而它们的功率谱密度与传递函数有关。在应用方面常用ARMA模型做一些预测。
2.专题应用范例——中心极限定理在军事上的应用
炮弹、火箭发射过程中会受到各种不可预料因素影响，因素非常之多而又几乎无法单独预估，若放任不管则又可能因丝毫的差错导致灾难性后果，因而为了有效控制这些因素的影响，就会用到中心极限定理。
例：用中心极限定理说明在正常射击情况下炮弹的射程分布是或者近似于正态分布。
解：设理论射程为α，实际射程ξ，则为实际射程相对于理论射程的偏差为η=ξ-α，显然有ξ=η+α，故只要证明η~N(μ,σ^2)。在实际射击中，由于存在非常多的补可控制且不断变化的随机因素造成影响，因而造成了实际射程相对于理论射程存在偏差的结果。若由炮身振动引起的射击偏差为ξ1；由炮弹外形差异引起的射击偏差为ξ2；由炮弹内部火药成分差异引起的射击偏差为ξ3；由射击时引起的射击偏差为ξ4，…ξi…ξn…，显然可知η为各射击偏差之和。
由于实际上这些影响射程的因素是非常大量的，故而n很大甚至趋于无穷，而这些因素间又基本没有什么关系或者关系极其微小，故而可看做事彼此相互独立的随机变量。
另外，一般射击中对射击有显著影响的条件大多会得到恰当有效的控制，因此上面的那些射击偏差的作用可以看作是微乎其微的。
则可由中心极限定理得出
η~N(μ,σ^2)
由于 η可正可负，且机会相等，故有
μ= 0，η~N( 0 ,σ^2)
从而可以得出：在正常射击情况下炮弹的射程分布是或者近似于正态分布。
从上述例子中可以看出中心极限定理在军事上也有着极为重要的作用，军事上除了射程问题，还有武器精密度问题、训练规划问题、甚至是军队生活上的一些问题都会涉及到中心极限定理，与概率论联系极为紧密。
并且运用中心极限定理证明随机变量服从正态分布时可大致有分为：1）归纳总结随机变量的构成；2）分析随机变量的特点；3）灵活运用中心极限定理。
3.思考总结
通过对随机变量的特征函数、大数定理及中心极限定理等五节内容的自主学习，整理分
析我发现，自学部分的内容，实际上是在之前所学的随机信号分析的基础上，将随机信号的概率研究进行了一个深入和拓展，再进一步将研究范围扩展到N维，在大量的随机数据上，结合傅立叶变换，对随机变量序列的极限、规律等问题的分析。除此之外，自学的过程也让我明白了，很多理论知识看似书面乏味，但其实并不是空洞没有意义的的，相反，扎扎实实的理论基础对于实际当中研究解决问题是有着极大帮助的，甚至达到了一定程度，可以直接从理论联想到一个实际问题的应用和解决方法。
参考文献：
[1] [2] [3]
王佩荔, 杨万禄编. 概率论与数理统计的内容与方法[M ]. 天津: 天津大学出版社, 1997. 王永德，王军，随机信号分析基础（第四版），北京，电子工业出版社，2013.8 何选森，随机过程，北京，人民邮电出版社，2009.9