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解：当系统有多处约束时，若应用动量矩定理求解，一般不以系统为研究对象，因动量矩定理只能避免矩心一处约束反力出现在求解方程中。本题分别取轮1、轮2为研究对象，受力分析及运动分析如题12-7图（b）所示。对轮1和轮2分别应用动量矩定理，有 轮1 轮2
J1a1?M?(FT1?FT2)R1 （1） J2a2??M??(FT1?FT2)R2 （2）
补充运动学关系（胶带与轮间无滑动条件）
R1a1?R2a2 （3）
联立（1）、（2）、（3）式，并将J1?2(MR2?M?R1)112m1R12,J2?m2R2代入，可得轮1的角加速度：a1? 222(m1?m2)R1R2 41
第十三章 动能定理
13-1 ........................................................................................................................................................................ 42 13-2 ........................................................................................................................................................................ 42 13-5 ........................................................................................................................................................................ 43 13-7 ........................................................................................................................................................................ 43 13-12 ...................................................................................................................................................................... 44 13-15 ...................................................................................................................................................................... 45 13-1 题13-1图所示圆盘的半径r=0.5m，可绕水平轴O转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A，B，质量分别为mA=3kg,mB=2kg。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按M?4?的规律变化（M以N·m计，?以rad计）。求由?=0以?=2π时，力偶M与物块A，B的重力所作的功之总和。
解：由??0到??2?时，外力偶矩M所作正功W1??Md?，在此过程
02?中，物块A下降，物块B上升，所以物块A的重力作正功，物块B的重力作负功，上升或下降的距离为2?r，故物块A、B重力所作功的总和为
W2?mAg?2?r?mBg?2?r
外力偶矩M和物块A、B的重力所作功的总和为
W?W1?W2??Md??mAg?2?r?mBg?2?r02???4?d??2?(mA?mB)gr02?
?(2?22?0?2?(3?2)?9.81?0.5)J?109.8J
13-2如题13-2图所示，用跨过滑轮的绳子牵引质量为2kg的滑块A沿倾角为30o的光滑斜槽运动。设绳子拉力F=20N。计算滑块由位置A到位置B时，重力与拉力F所作的总功。
解：物块由A移动到B，所移动的距离为
s?(6cot45??6cos60?)m?(6?23)m
重力P所作的功为负功
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WP??(mgsin30?)s1?[?2?9.81??(6?23)]J2??24.85J
拉力F所作的功为正功，拉力F作用点C沿F方向移动的距离等于滑块从A移动到B时，绳缩短的长度
6??6???m，故拉力所作的功为
?sin45?sin60??6?6??6?6WF?F??????20??J?31.14J
?sin45?sin60???sin45?sin60??重力与拉力F所作的总功为：W
13-5 自动弹射器如题13-5图放置，弹簧在未受力时的长度为200mm，恰好等于筒长。欲使弹簧改变10mm，需力2N。如弹簧被压缩到100mm，然后让质量为30g的小球自弹射器中射出。求小球离开弹射器筒口时的速度。
解：欲求小球离开弹射器筒口时的速度v，可应用动能定理。小球的初动能
?WP?WF?(?24.85?31.14)J?6.29J
1T1?0，末动能T2?mv2，在弹射过程中，只有重力和弹力作功，重
2力和弹力所作的总功为
W12?1k(?2?0)?(mgsin30?)?2121?[?(0.12?00)?0.03?9.81??0.1]J20.012?0.9853J
应用动能定理有：
T2?T1?W12,12mv?W122
v?
2?0.9853m/s?8.105m/s
30?10?313-7 平面机构由两匀质杆AB，BO组成，两杆的质量均为m，长度均为l，在铅垂平面内运动，在杆AB上作用一不变的力偶矩M，从题13-7图(a)所示位置由静止开始运动，不计摩擦。求当杆端A即将碰到铰支座O时杆端A的速度。
解：选取系统为研究对象，运动分析如题13-7图（b）所示。运动过程中，杆OB绕点O作定轴转动，杆AB作平面运动，由点A、B的速度方向，可确定杆AB的速度瞬心P，所以
vB??ABPB??OBBO
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因PB?BO?l，所以?AB??OB??。当杆端A即将碰到点O时，P、B、A三点共线，如题13-7图（c）所
示，则：vA?PA?AB?2l?
?0，末动能由两部分构成：
T2?TAB?TOB?系统初始静止，初动能T11122JP?AB?JO?OB2221?1?3??21?12?22??ml?ml?l?????ml?? 2?2?3?2?????124?ml2?23l外力作功为：W12?M??2mg(1?cos?)
2应用动能定理T2?T1?W12，得：
422lml??0?M??2mg(1?cos?) 32??3[M??mgl(1?cos?)] 24ml杆端A的速度：vA
?2l??3[M??mgl(1?cos?)] m13-12 题13-12图示带式运输机的轮B受恒力偶M的作用，使胶带运输机由静止开始运动。若被提升物体A的质量为m1,轮B和轮C的半径均为r,质量均为m2，并视为均质圆柱。运输机胶带与水平线成角θ，它的质量忽略不计，胶带与轮之间没有相对滑动。求物体A移动距离s时的速度和加速度。
解：选取整个系统为研究对象，系统初始时静止，动能
T1?0，设物体A移动距离s时的速度为v，则轮B和轮C的
角速度为
v，系统的末动能 r211?11??v?T2?m1v2?2???m2r2????(m1?m2)v2
22?22??r?外力作功：W12其中??M??sm1gsin?
?sr，应用动能定理T2?T1?W12得
（1）
1(m1?m2)v2?0?M??sm1gsin?2 44