发布时间 : 星期五 文章高中数学 培优二轮 含答案 解析 专题二 第四讲 函数与方程、函数的应用更新完毕开始阅读
由图象知零点存在区间(1，e)内．
反思归纳 函数零点(方程的根)的问题，常见的类型有：(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)利用零点求参数范围问题．解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．
变式训练1 (1)(2017·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是
A．0 答案 B
解析 先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，
所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增， 且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点．
(2)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为
11
A．(－，0) B．(0，)
441113C．(，) D．(，) 4224答案 C
1113
－?<0，f(0)<0，f??<0，f??>0，f??>0，由零点存在性解析 因为f′(x)＝ex＋4>0，f??4??4??2??4?11?
定理知f(x)在??4，2?上存在一零点．故选C. 题型二 函数与方程的综合应用
2
( )
B．1 C．2 D．3
( )
e2
例2 已知函数f(x)＝－x＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．
x
(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
审题破题 (1)g(x)＝m有实根，可以分离参数转化为求函数最值．(2)利用图象，探究可能的不等关系，从而构造关于m的不等式求解．
e2
解 (1)∵g(x)＝x＋≥2e2＝2e，
x等号成立的条件是x＝e. 故g(x)的值域是[2e，＋∞)，
因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有实根．
故m∈[2e，＋∞)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数 g(x)与f(x)的图象有两个不同 的交点，
e2
作出g(x)＝x＋ (x>0)的大致图象．
x∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1
＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2. 故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时， g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． ∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
反思归纳 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
变式训练2 已知函数f(x)＝2ax2＋2x－3.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，则实数a
的取值范围为______________．
1
，＋∞? 答案 ??2?
解析 若a＝0，则f(x)＝2x－3， 3
f(x)＝0?x＝?[－1,1]，不合题意，故a≠0.
2下面就a≠0分两种情况讨论：
(1)当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0，解得5≤a≤.
2
12
??
1(2)当f(－1)·f(1)>0时，f(x)在[－1,1]上有零点的条件是?－1<－<1，2a
??f?－1?·f?1?>0，
1?综上，实数a的取值范围为??2，＋∞?. 题型三 函数模型及其应用
1
－?f?1?≤0，f??2a?
5
解得a>.
2
例3 为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每
日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
审题破题 f(x)为分段函数，要分x≤6和x>6两种情况分别寻求函数关系，x应为整数． 解 (1)当x≤6时，y＝50x－115. 令50x－115>0，解得x>2.3.
∵x∈N*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N*. 当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115， 令[50－3(x－6)]x－115>0,3x2－68x＋115<0. 上述不等式的整数解为2≤x≤20(x∈N*)． ∴6 * ??50x－115?3≤x≤6，x∈N?，故y＝? 2* ?－3x＋68x－115?6 定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}． (2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)， 显然当x＝6时，ymax＝185(元)， 34811 x－?2＋(6 ∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多． 反思归纳 解应用题首先要正确理解题意，将实际问题化为数学问题，再利用数学知识如函数、导数、不等式解决数学问题，最后回归到实际问题的解决上． 变式训练3 里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线 的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍． 答案 6 10 000 解析 由M＝lg A－lg A0知，M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6，∴此次地震的震级为6级． A1设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lg＝lg A1－lg A2＝(lg A1－lg A2A0)－(lg A2－lg A0) A1＝9－5＝4.∴＝104＝10 000， A2 ∴9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍． 典例 (12分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中 x2 环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝?x2＋1－a?＋2a＋，x∈[0,24]， 3?? 1 0，?，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性其中a是与气象有关的参数，且a∈??2?污染指数，并记作M(a)． x (1)令t＝2，x∈[0,24]，求t的取值范围； x＋1 (2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ 规范解答 解 (1)当x＝0时，t＝0； [1分] 1 当0 x 1x1 0，?， ∴t＝2＝∈?1?2?x＋1 x＋x 1 0，?.[4分] 即t的取值范围是??2?120，?时，记g(t)＝|t－a|＋2a＋， (2)当a∈??2?3 2 －t＋3a＋，0≤t≤a， 3 则g(t)＝ [8分] 21t＋a＋，a 1127 a，?上单调递增，且g(0)＝3a＋，g??＝a＋，g(0)－∵g(t)在[0，a]上单调递减，在??2?3?2?6 1??1?g??2?＝2?a－4?. 1?1g?，0≤a≤，?2?4 故M(a)＝ 11g?0?， ??? ??? ?a＋6，0≤a≤4， 即M(a)＝?211 3a＋， 3a＋≤2， 3 71 [10分] 14 得 4 ∴当且仅当a≤时，M(a)≤2. 9