发布时间 : 星期二 文章陕西省西安中学2020届高三第一次模拟考试数学(理)(含答案)更新完毕开始阅读
18. （本小题满分12分）
某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生．
理科方向 文科方向 总计 男 110 女 50 总计 (1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？
(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．
参考公式和参考临界值见后：
n?ad－bc?2
参考公式：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 参考临界值：
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
2
P(K2≥k0) k0
19. （本小题满分12分）
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 已知数列{an}的前n项和为Sn，且n、an、Sn成等差数列，bn?2log2(1?an)?1. （1）证明数列?an?1?是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若数列?bn?中去掉数列?an?的项后余下的项按原顺序组成数列?cn?，求
c1?c2?????c100的值.
20. （本小题满分12分）
从抛物线C：x2?2py(p?0)外一点P作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点M?x0,2?在抛物线C上，且MF?3（F为抛物线的焦点）.
（1）求抛物线C的方程；
（2）①求证：四边形PCQD是平行四边形.
②四边形PCQD能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由.
21. （本小题满分12分）
a2已知函数f(x)?x?2xlnx，函数g(x)?x??(lnx)，其中a?R，x0是
x2g(x)的一个极值点，且g(x0)?2.
（1）讨论函数
f(x)的单调性；
（2）求实数x0和a的值； （3）证明：
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xoy中，曲线C1：??x?2cos?（?为参数），在以平面直角坐标系的
y?2sin???k?1n1?ln(2n?1).(n?N?)
4k2?121原点为极点、x轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy取相同单位长度的极坐标系
中，曲线C2：?sin?????1．
6???π?（1）求曲线C1的普通方程以及曲线C2的平面直角坐标方程；
（2）若曲线C1上恰好存在三个不同的点到曲线C2的距离相等，求这三个点的极坐标．
23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】
已知a,b??0,???,a?1?b??b?a?1?,f?x??2x?1?x?2. （1）求a2?b2的最小值；
（2）若对任意a,b??0,???，都有f?x??4?a2?b2?，求实数x的取值范围.
西安中学高三第一次模拟考试
理科数学答案
一.选择题
1 C
2 C
3 D
4 B
5 C
6 B
7 D
8 B
9 A
10 D
11 A
12 A
二.填空题
13. 1 14. 43? 15. 三.解答题 17. （1） 连接 所以 所以
．因为
，所以 ，所以
．因为
．而
，
， ，
5 16. ①②④
．又 ．
（2） 因为 且交于 ，，所以
，
，则以 为原点建立空间直角坐标系，如图：所以
，，
所以 ，．设平面 的法向量 ，
所以
．
令 ，得 ．，所以平面 的法向量为
由图知 二面角
的大小为
．
，由图知 ，所以 ，即