发布时间 : 星期一 文章(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法教师用书 文 苏教版更新完毕开始阅读
题型二 由an与Sn的关系求通项公式
21
例2 (1)(2016·南通模拟)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an33＝ . 答案 (－2)
n－1
2121
解析 由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n333321n＝1时，S1＝a1＝a1＋，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)
33
－1
.
(2)已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式. ①Sn＝2n－3n；②Sn＝3＋b. 解 ①a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n－3n)－[2(n－1)－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. ②a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3＋b)－(3＝2·3
n－1
nn－1
2
2
2
n＋b)
.
当b＝－1时，a1适合此等式； 当b≠－1时，a1不适合此等式. ∴当b＝－1时，an＝2·3
n－1
；
?3＋b，n＝1，?
当b≠－1时，an＝?n－1
??2·3，n≥2.
思维升华 已知Sn，求an的步骤 (1)当n＝1时，a1＝S1； (2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；
(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.
(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2－3，则数列{an}的通项公式为 .
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝n－9n，则其通项an＝ ；若它的第k项满足5 2 n则k＝ . ??－1，n＝1， 答案 (1)an＝?n－1 ?2，n≥2? (2)2n－10 8 解析 (1)当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2 ??－1，n＝1， ∴an＝?n－1 ?2，n≥2.? n－1 ， (2)∵an＝? ?S1，n＝1，? ??Sn－Sn－1，n≥2， ?－8，n＝1，? ∴an＝? ??2n－10，n≥2. * 又∵－8也适合an＝2n－10，∴an＝2n－10，n∈N. 由5<2k－10<8，∴7.5 (1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)； n(2)a1＝1，an＋1＝2an； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2. 1 解 (1)∵an＋1＝an＋ln(1＋)， nn∴an－an－1＝ln(1＋ 1n)＝ln (n≥2)， n－1n－1 ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝lnn－13 ＋ln＋…＋ln ＋ln 2＋2 n－1n－22 n－13 ··…··2) n－1n－22nn＝2＋ln( ＝2＋ln n(n≥2). 又a1＝2适合上式，故an＝2＋ln n(n∈N). (2)∵an＋1＝2an，∴∴an＝＝2 n－1 n* ann－1 ＝2 (n≥2)， an－1 anan－1a2 ··…··a1 an－1an－2a1 n－2 ·2·…·2·1＝2 1＋2＋3＋…＋(n－1) ＝2n(n?1)2. 又a1＝1适合上式，故an＝2n(n?1)2. (3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2， 故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an＋1＝2·3 n－1 ，故an＝2·3 n－1 －1. 思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列. (2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列. (3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解. (4)当出现 an＝f(n)时，用累乘法求解. an－1 (1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝ n－1* ·an－1(n≥2且n∈N)，则an＝ . n* (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N)，则a5＝ . 1 答案 (1) (2)16 n解析 (1)∵an＝∴an－1＝ n－1 an－1 (n≥2)， nn－21 an－2，…，a2＝a1. n－12 以上(n－1)个式子相乘得 12n－1a11 an＝a1···…·＝＝. 23nnn1 当n＝1时也满足此等式，∴an＝. n(2)当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1. 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1. ∴{an}是等比数列且a1＝1，q＝2， 故a5＝a1×q＝2＝16. 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性 例4 已知an＝答案 递增 4 4 n－1 ，那么数列{an}是 数列.(填“递减”“递增”或“常”) n＋1 解析 an＝1－ 2* ，将an看作关于n的函数，n∈N，易知{an}是递增数列. n＋1 命题点2 数列的周期性 例5 数列{an}满足an＋1＝1答案 2 1 解析 ∵an＋1＝， 1－an111－an－1 ∴an＋1＝＝＝ 1－an11－an－1－1 1－ 1－an－1＝ 1－an－11 ＝1－ －an－1an－1 1 ＝1－(1－an－2)＝an－2，n≥3， 11－an－2 1 ，a8＝2，则a1＝ . 1－an＝1－∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3. ∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2. 而a2＝ 11，∴a1＝. 1－a12 命题点3 数列的最值 例6 若数列{an}的通项an＝答案 1 19 nn2＋90 ，则数列{an}中的最大项的值是 . 90 解析 令f(x)＝x＋(x>0)，运用基本不等式得f(x)≥290，当且仅当x＝310时等号成 x立.因为an＝ 111* ，所以≤，由于n∈N，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝最909029019n＋n＋ 1 nn大. 思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列. ②用作商比较法，根据an＋1 (an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断. an③结合相应函数的图象直观判断. (2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.