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平面几何中辅助线的添加方法及其教学上的运用
平面几何是中学数学的一个重要组成部分，证明是平面几何的重要内容。许多初中生对几何证明题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证明题，往往束手无策。在这里我们介绍\添加辅助线\在平面几何中的运用。
为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。辅助线通常画作虚线。关于添加辅助线的问题，这是初中生学习平面几何难点之一，也是平面几何教学中的一个重点。但是由于诸多方面的因素的影响，许多学生在完成几何作业或考试答卷中常常出现辅助线的作法和叙述上的错误。
例如：如图，已知⊙O的半径为5㎝， 弦AB∥CD，AB=6㎝，CD=8㎝。 求：AB和CD的距离。
这道题的辅助线如图，可是在作业中同学却出现了如下种种叙述方法：
1、 作AB和CD的垂线段MN
2、 过O点作直线MN垂直AB和CD
3、 过O点作AB和CD的垂直平分线MN 4、 作OM⊥AB，并延长交CD于N
5、 连结AB，CD的中点MN，并使之通过O点 6、 连结MN，使MN⊥AB，MN⊥CD
经过分析，几种叙述方法都是错误的。而这种种错误，归纳起来大致有以下2个原因：1、不会使用几何作图的规范用语；2、违反了几何作图的基本要求。那么，如何解决同学们在作辅助线时出现的问题呢？
1、教学中注意培养学生的几何语言的表达能力
从学生的开始学习几何时就应引入和应用规范用语，突出几何语言，特别在学习尺规作图时，更就突出作图规范用语和训练，否则就会出现前文中出现的辅助线作法的叙述上的错误。下面介绍几种常用的辅助线的正确叙述方法：
（1）连结：如图（1）连结AC、BD交于O点 （2）作平行线：如图：（2）过D点作DG∥AE，交BC于G
（3）作垂线：如图（3）分别过A、D两点作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F（学生容易丢掉）
（4）延长：如图（4）延长AC交⊙O于F，连结DF
2、教学中注意加强添加辅助线的练习训练
（1）关于添加辅助线的问题。这是初中学生学习平面几何的难点之一，要在教学中循序渐进训练学生。可以通过精选例题，让学生开阔眼界，灵活思路，掌握规律，提高能力。在添辅助线时，必须使学生明确辅助线要添得合理，必须符合基本作图要求。如证明：\三角形内角和定理\，要证明这个定理应先以CA为一边，在△ABC外部作∠ACE=∠BAC，再延长BC，然后只要证明∠ECD=∠ABC就行了。根据这样分析，故先作BC延长边CD，并在△ABC外部以CA为一边，CE为另一边作∠ACE=∠BAC，然后即可证∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°。此外还可以让学生掌握多种方法添辅助线。
（2）教学时，要注意强调添加辅助线是手段，而不是目的，它是沟通已知和未知的桥梁，不能见到题目，就无目的地添加辅助线。一则没用、二则辅助线越多，图形越乱，反而妨碍思考问题。同时，还应注意常见的辅助线的教学，使学生体会到许多辅助线的添加是有规可循的，从而进一步提高分析问题能力。不断引导学生总结一些带有规律性结论，有助于拓宽思路，丰富联想，而达到融会贯通的目的。
3、教学中注意培养学生了解几何问题的思考方法，防止添加辅助线的盲目性
很多学生不能够掌握正确的思考方法，常常是不着边际的添加一些不恰当的辅助线，不仅不能有助于解题，反而使图形复杂化，影响了对习题的解答。怎样解决这个问题呢？仔细的分析一下，不难发现，不同的问题需要添加不同的辅助线，相同的问题思考方法不同，辅助线的添加又不同，所以说正确的添加辅助线依赖于问题本身对问题有一个正确的思考方法。因此，学生对一些问题的思考方法就显得很重要了。
例如:有这样一个习题，矩形ABCD中，E是DC上的一点，且AE=AB，BF⊥AE于F，求证：EF=EC
这个题目的证明本身可以不添加辅助线，直接证明△ABF≌△EAD，从而AF=DE，又因为DC=AB=AE，即可以得出结论。但是不同的学生对同一个问题的思考方法不同，因而出现几种添加辅助线的方法：
Ⅰ、验证EF=EC可以它们所在的三角形全等，因而需要将它们构建到两个全等的三角形中去，所以连接B、E。
Ⅱ、验证EF=CE可以证它们是一个等腰三角形的两条腰，所以连结F、C。
上述几种方法有繁有简，但都能顺利地得出结论，所以采用不同的思考方法，对同一个问题就有了不同的辅助线的添加方法。
4、教学中引用歌诀，让学生找到添加辅助线的规律
怎样才能正确地添加辅助线呢？我向学生介绍了《平面几何辅助歌诀》： 辅助线 ，如何添，找出规律凭经验。 题中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，可向两端把线连。 三角形中两中点，连结则成中位线。 三角形中有中线，延长中线同样长。 成比例，正相似，经常要作平行线。 作线原则有一条，证题线段别割断。 圆外若有一切线，切点圆心把线连。 如果两圆内外切，经过切点作切线。 两圆相交于两点，一般作它公共弦。 是直径，成半圆，想做直角把线连。 作等角，添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
学生通过这一歌诀就可以找到添加辅助线的规律。 5、教学中注意总结常见添加辅助线的方法
在平时的教学中教会学生思考问题的方法是极为重要的，总结一些常见的辅助线的添加办法也有助于学生解决问题，在几年的教学中总结以下几点：
5.1 截长补短，针对证明一条线段等于另外两条线段的和及差 例如:已知Rt△ABC中,∠C=90°，AC=BC,AD是∠BAC的角平分线,求证:AB=BC+CD 方法一:截长，在AB上截取AE等于AC，连接DE从而就有了△AED≌△ACD,可得DE=DC,因为∠C=∠90°,从而又可得△BED是等腰三角形,因此有DE=DC=BE,得出AB=AC+CD
方法二:补短延长AC到F，使CF=CD，连接D、F,可证△ABD≌△AFD，可得AF=AB，得出结论。
5.2 和线段的中点有关的问题往往可以联系到三角形和梯形的中位线
例如：如图四边形ABCD是圆的外切四边形，其周长是S，E，F分别是AD，BC的中点，求证：4EF≤S
证明方法：连接AC（BD），N是AC和EF的交点，若N是AC的中点，则EF∥DC∥AB，四边形ABCD是梯形，那么EF是梯形ABCD的中位线，则有
4EF=2（AB+CD）=AB+BC+CD+DA=S
若N不是AC中点则可以做出AC的中点M，连接EM，FM，则有2EM=DC，2FM=AB，从而可以得出4（EM+FM）=2（AB+DC）=S，而在三角形EMF中EF﹤EM+MF，可得4EF＜S。
5.3 和角平分线有关的问题，通常可以作这个角的两边的平行线
例如：△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，与BC交于D，求证：AB︰AC=BD︰CD
这个习题的证明方法很多，但均离不开添加∠BAC的两边的平行线。①过D做DE∥
AC与AB交于E。②过D做DF∥AB与AC交于F。③过B做BH∥AC与AD交于H。④过C做CG∥AB与AD的延长线交于G。
5.4 已知三角形的一边中点，可以取另一边的中点，并做出三角形的中位线，以便利用中位线的性质
例：已知在三角形ABC中，∠B=2∠C，AD为高，E为BC的中点，求证：AB=2DE。 证明：取AC中点F，连接EF，DF，则EF为中位线，且EF∥AB、∠FEC=∠B=2∠C，在直角三角形ACD中，F是斜边AC的中点，所以有DF=CF、可得∠DEF=∠C，即有2∠FDC=∠FEC，从而有∠EFC=∠FDC+∠DFE，所以2∠DFE=∠FEC=2∠FDC得出DE=EF，得出2DE=AB得证。
5.5 如遇垂直平分线的问题，往往构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题
例：已知在三角形ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，G为ED的中点，求证：FG⊥ED
分析：G是ED的中点，要证明FG⊥ED，说明FG必为ED的垂直平分线，自然考虑添加辅助线DF与EF，只要证得DF与EF相等，就可利用等腰三角形的三线合一定理推出结论。
5.6 当比例式不能直接证明时，往往可以考虑\中间比\，为此往往需要添加平行线实现这种比的转移
例：已知在三角形ABC中，D在CB的延长线上，E在AC上，BD=AE，DE交AB于F，求证：DF︰EF=AC︰BC。
分析：所证明的四条成比例线段，构不成两个相似三角形，因此考虑作EG∥AB，将DF︰EF转化为DB︰BG，最后转化为AC︰BC（证明略）
5.7 涉及到圆的辅助线可以归纳如下：
遇有直径，常把圆上的一个点和直径的两个端点连接，构成直角三角形；
有关弦的问题常做弦心距和将圆心与弦的两个端点连接；两圆相切或相交，则可以编成顺口溜：\相切做条公垂线，相交做条共弦，相切相交连心线，必过切点，垂直公共弦\
例：已知圆⊙1与⊙2相交于P，Q的直线APB，CQD分别交圆⊙1于A，C，交⊙2于B，D，求证：AC∥BD。
证明：连接PQ，在圆⊙1中，∠BPQ=∠C；在圆⊙2中，BPQ=∠D，∴∠C=∠D∴AC∥BD
利用一题多解添加辅助线，提高学生分析，解决问题的能力，开阔学生的视野，启发学生多方面，多层次地思考问题，也不失为一种好的教学方法。
总之，关于辅助线的添加单凭本人的一些观点是不够的，主要还是应靠学生自己在学习中不断摸索，积累，以致形成经验。另外，还应注意添加辅助线时，往往不是一下子可以作出来的，应根据分析逐步完成，举一反三。