发布时间 : 星期六 文章人教A版高考文科数学一轮复习分层练习第三章变化率与导数、导数的计算更新完毕开始阅读
[基础题组练]
1．下列求导数的运算中错误的是( ) A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x C.?cos x?xsin x－cos x?x?′＝x2 D．(sin x·cos x)′＝cos 2x
解析：选C.因为?cos x?x?－xsin x－cos x?′＝x2
，C项错误． 2．已知曲线y＝x24－3ln x的一条切线的斜率为1
2，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2 C．1
D．1
2
解析：选A.因为y′＝x2－3x，令y′＝1
2，解得x＝3，即切点的横坐标为3.
3．已知函数f(x)可导，则lim
f（2＋2Δx）－f（2）
Δx→0
2Δx
等于( )
A．f′(x) B．f′(2) C．f(x)
D．f(2)
解析：选B.因为函数f(x)可导， 所以f′(x)＝limf（x＋Δx）－f（x）
Δx→0
Δx
，
所以f（2＋2Δx）－f（2）
Δlimx→0
2Δx
＝f′(2)．
4．函数g(x)＝x3＋5
2x2＋3ln x＋b(b∈R)在x＝1处的切线过点(0，－5)，则b的值为( A.72 B.52 C.32
D．12
解析：选B.当x＝1时，g(1)＝1＋57
2＋b＝2＋b，
又g′(x)＝3x2＋5x＋3
x
，
所以切线斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11， 从而切线方程为y＝11x－5，
1
)
77
1，＋b?在切线上，所以＋b＝11－5， 由于点??2?25
解得b＝.故选B.
2
5．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝ex；③f(x)＝ln x；④f(x)＝tan x.
其中有“巧值点”的函数的个数是( ) A．1 C．3
B．2 D．4
－
解析：选B.对于①，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；对于②，若f(x)＝ex，则f′(x)＝－ex，即ex＝－ex，此方程无解，11
②不符合要求；对于③，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，若ln x＝，利用数形结合法可知该方程
xxsin x?1
存在实数解，③符合要求；对于④，若f(x)＝tan x，则f′(x)＝?′＝?cos x?cos2x，令f(x)＝f′(x)，即sin xcos x＝1，变形可sin 2x＝2，无解，④不符合要求．故选B.
6．(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝ ．
解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex， 所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e. 答案：1＋e
7．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝ ，切线方程为 ．
解析：因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.
答案：－2 y＝1
8．已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为 ．
解析：由题意知，f(2)＝2×2－1＝3，所以g(2)＝4＋3＝7，因为g′(x)＝2x＋f′(x)，f′(2)＝2，所以g′(2)＝2×2＋2＝6，所以曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.
答案：6x－y－5＝0 9．求下列函数的导数： (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；
－
－
－
－
2
xx
(2)y＝sin(1－2cos2)；
24ln x
(3)y＝2.
x＋1
解：(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1) ＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x， 所以y′＝18x2－10x－4.
xx1
(2)因为y＝sin(－cos)＝－sin x，
222111
所以y′＝(－sin x)′＝－(sin x)′＝－cos x.
222
12
（x＋1）－2xln x
（ln x）′（x2＋1）－ln x（x2＋1）′x(3)y′＝＝
（x2＋1）2（x2＋1）2x2＋1－2x2ln x
＝. x（x2＋1）2
10．(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程． 解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1. 令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)． 1(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－.
4因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)， 1
所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
4即x＋4y＋17＝0.
[综合题组练]
1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1
3
B．0
C．3 D．4
11
解析：选B.由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又g(x)
331
－?＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×??3?＝0.
2．(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
1
－，＋∞? A.??2?C．(0，＋∞)
1
－，＋∞? B.??2?D．[0，＋∞)
2ax2＋11
解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2
xx1
＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－2(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故
x选D.
3．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
??f（0）＝b＝0，
(1)由题意得?
?f′（0）＝－a（a＋2）＝－3，?
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0， 即4a2＋4a＋1>0， 1
所以a≠－.
2
11
－∞，－?∪?－，＋∞?. 所以a的取值范围为?2??2??
9
4．已知抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象
2限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标． 解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)， 则y1＝kx1，①
4