发布时间 : 星期一 文章2011-2019高考数学不等式选讲分类汇编更新完毕开始阅读
2011-2019新课标《不等式选讲》分类汇编
1. 【2011年新课标】设函数f(x)?x?a?3x,其中a?0。 (1)当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集 (2)若不等式f(x)?0的解集为?x|x??1? ，求a的值。
【解析】(1)当a?1时，f(x)?3x?2可化为|x?1|?2。
由此可得 x?3或x??1，故不等式f(x)?3x?2的解集为{x|x?3或x??1}。 (2)由f(x)?0的 x?a?3x?0此不等式化为不等式组
?x?a?x?a或? ?x?a?3x?0a?x?3x?0???x?a?x?a????aa即 x? 或a?? ???4?2因为a?0，所以不等式组的解集为?x|x??
2. 【2012新课标】 已知函数f(x)?x?a?x?2 （1）当a??3时，求不等式f(x)?3的解集；
（2）若f(x)?x?4的解集包含[1,2]，求a的取值范围。 【解析】（1）当a??3时，f(x)?3?x?3?x?2?3 ??a2? 由题设可得?a= ?1，故a?2 2x?2x?3??2?x?3?或??或???x?1或x?4
?3?x?2?x?3?3?x?x?2?3?x?3?x?2?3（2）原命题?f(x)?x?4在[1,2]上恒成立
?x?a?2?x?4?x在[1,2]上恒成立 ??2?x?a?2?x在[1,2]上恒成立 ??3?a?0
1
3. 【2013新课标1】已知函数f(x)＝|2x－1|+|2x+a|，g(x)=x+3. （1）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
a1
（2）设a＞－1，且当x∈[－2，2)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.
【解析】（1）当a=-2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x?1|?|2x?2|?x?3?0，
1??5x, x??2?1?设函数y=|2x?1|?|2x?2|?x?3，y=??x?2, ?x?1，
2??3x?6, x?1??其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x?(0,2)时，y＜0， ∴原不等式解集是{x|0?x?2}. （2）当x∈[?a1，]时，f(x)=1?a，不等式f(x)≤g(x)化为1?a?x?3， 22a1a4，]都成立，故??a?2，即a≤， 22234]. 3∴x?a?2对x∈[?∴a的取值范围为（-1，
4. 【2013新课标2】设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明： (1)ab+bc+ac≤；
13a2b2c2???1. (2)bca(1)由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca， 得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1. 所以3(ab+bc+ca)≤1，即ab+bc+ca≤.
13a2a2b2c2b2c2?b?2a，?c?2b，?a?2c，故???(a?b?c)≥2(a+b+c)， (2)因为bbcacaa2b2c2a2b2c2??≥a+b+c. 所以??≥1. 即bcabca
2
5. 【2014新课标1】若a＞0，b＞0，且+=（1）求a3+b3的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由 【解析】：（1）∵a＞0，b＞0，且+=∴
=+≥2
， ∴ab≥2， 时取等号．
≥2．
=2
≥4
=4
，
．
当且仅当a=b= ∵a3+b3 ≥2
，当且仅当a=b=时取等号，
∴a3+b3的最小值为4
（2）由（1）可知，2a+3b≥2＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．
6. 【2014新课标2】设函数f?x?=x?1?x?a(a?0)
a（1）证明：f?x?≥2；
（2）若f?3??5，求a的取值范围. 【解析】
（1）由a?0，有f(x)?|x?（2）f(3)?|3?111|?|x?a|?|x??(x?a)|?a??2，∴f(x)?2 aaa1|?|3?a| a当a?3时，f(3)?a?15?21，由f(3)?5得3?a? a21?51?a?3 ，由f(3)?5得
a2当0?a?3时，f(3)?6?a?综上，a的取值范围是(
1?55?21,)。 22 3
7. 【2015新课标1】已知函数f(x)?|x?1|?2|x?a|，a>0. （1）当a?1时，求不等式f(x)?1的解集；
（2）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. 【解析】（1）当a?1时，f(x)?1化为|x?1|?2|x?1|?1?0. 当x??1时，不等式化为x?4?0，无解；
当?1?x?1时，不等式化为3x?2?0，解得?x?1； 当x?1时，不等式化为?x?2?0，解得1?x?2. 所以f(x)?1的解集为{x|?x?2}.
?x?1?2a,x??1,（2）由题设可得，f?x????3x?1?2a,?1?x?a,
??x?1?2a,x?a,?2323所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(2?ABC的面积为(a?1)2.
32a?1B(2a?1,0)，C(a,a?1)，,0)，
3由题设得(a?1)2?6，故a?2，所以a的取值范围为(2,??).
8. 【2015新课标2】设a,b,c,d均为正数，且a?b?c?d，证明： （1）若ab?cd，则a?b?c?d；
（2）a?b?c?d是a?b?c?d的充要条件．
23(c?d)2?c?d?2cd，【解析】（1）因为(a?b)2?a?b?2ab，有题设a?b?c?d，
ab?cd，得(a?b)2?(c?d)2，所以a?b?c?d. （2）若a?b?c?d，则(a?b)2?(c?d)2，即(a?b)2?4ab?(c?d)2?4cd，因为
a?b?c?d，所以ab?cd，由（Ⅰ）得a?b?c?d. 若a?b?c?d，则(a?b)2?(c?d)2，即ab?cd，于是
(a?b)2?4ab?(c?d)2?4cd，即(a?b)2?(c?d)2，因此a?b?c?d，
综上，a?b?c?d是a?b?c?d的充要条件。
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