发布时间 : 星期六 文章【金版学案】高考数学理科二轮复习习题：专题第四讲 化归与转化思想含答案更新完毕开始阅读
专题九 思想方法专题
第四讲 化归与转化思想
解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换， 将原问题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．
化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．
转化有等价转化和非等价转化之分．等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． 1
(1)函数y＝x＋的最小值是2.(×)
x
?a＋b?2
?成立的条件是ab>0.(×) (2)ab≤?2??
?π?4
(3)函数f(x)＝cos x＋，x∈?0，?的最小值等于4.(×)
cos x2??
(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(×)
1．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交
于M，N两点，则|MN|的最大值为(B)
A．1 B.2 C.3 D．2
??π??
解析： |MN|＝|sin x－cos x|＝2?sin?x－??，最大值为2.
4????
2．下图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x(x＞0)}，则A#B为(D)
A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}
解析：A＝{x|y＝2x－x2}＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x(x＞0)}＝{y|y＞1}，则A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}．根据新运算，得A#B＝?A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
??a，a≤b，5
3．定义一种运算a?b＝?令f(x)＝(cos2x＋sin x)?，且
4?b，a＞b，??π?
?x∈0，?，则函数
2??
?π?
?fx－?的最大值是(A)
2??
55
A. B．1 C．－1 D．－ 44
?1?25
?解析：设y＝cosx＋sin x＝－sinx＋sin x＋1＝－sin x－2?＋，
4??
2
2
?π?5∵x∈?0，2?，∴0≤sin x≤1，∴1≤y≤，
4??
5
即1≤cosx＋sin x≤.
4
2
根据新定义的运算可知
?π?
f(x)＝cosx＋sin x，x∈?0，?，
2??
2
???π?π?1?25?1?25
∴f?x－?＝－?sin?x－?－?＋＝－?cos x＋2?＋，x∈
44??2?2?2?????π?
?，π?. ?2?
?π?5
∴函数f?x－?的最大值是.
42??
1
4．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的
2取值范围是(C)
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
1
解析：∵f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，∴f′
2(x)＝－x＋
b
＜0在(－1，＋∞)上恒成立，即b＜x(x＋2)在(－1，＋x＋2
∞)上恒成立．设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1在(－1，＋∞)上单调递增，∴g(x)＞－1，
1
∴当b≤－1时，b＜x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，即f(x)＝－
2x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数．