发布时间 : 星期日 文章高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程(二)学案新人教B版选修2-1更新完毕开始阅读
答案精析
问题导学 知识点
思考1 标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．
xy
标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正
ab值．
思考2 把方程化为标准形式，与x，y相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上． 思考3 (1) 如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.
2
2
(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为
①
2
2
2
x＋c2＋y2
22
2
2
＋
2
x－c2＋y2＝2a.
(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a－c)x＋ay＝a(a－c)，为使方程简单、对
x2y2222
称、便于记忆，引入字母b，令b＝a－c，可得椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)．
a2b2
②
(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c，0)，F2(c，0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的
标准方程．
梳理 (2)A>0，B>0且A≠B (3)a＝b＋c2
2
2
题型探究
x2y2
例1 解 方法一 (1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
a2b2
5 / 8
?? 依题意有?
??
32
＋a2－23a2
－22
＝1，b2
212
＋＝1，b2
??a2＝15， 解得?
?b2＝5.?
x2y2
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
155
(2)当焦点在y轴上时，
－22??a2＋y2x2
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意有?a2b212－23
＋??a2b2
32
＝1，b22
＝1，
??a2＝5， 解得?
?b2＝15.?
此时不符合a>b>0，所以方程组无解．x2y2
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
155
方法二 设所求椭圆的方程为Ax＋By＝1(A>0，B>0且A≠B)，
2
2
??3A＋4B＝1，
依题意有?
?12A＋B＝1，?
??
解得?1
B＝??5.
1A＝，
15
x2y2
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
155
y2x2
跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
a2b2
由椭圆的定义知：
2a＝
3－23－2
2＋
5
＋22＋25
－222
2＋
＝210，即a＝10. 又c＝2，∴b＝a－c＝6.
y2x2
∴所求的椭圆的标准方程为＋＝1.
106
2
2
2
6 / 8
例2 解
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为y2a2＋x2
b2
＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，??4＋0a2b2＝1， ∴?∴??
a2＝4，
??01
??
b2＝1.
a2＋b2＝1，
? ∴所求的椭圆的标准方程为
y24
＋x2
＝1.设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xyy0
0，0)，则x＝x0，y＝2
.
因为点P(x2
2
0，y0)在圆x＋y＝4上，
所以x20＋y20＝4. ①
把x0＝x，y0＝2y代入方程①， 得x2＋4y2
＝4，即x224
＋y＝1.
所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆．
引申探究
解 设M(x，y)，P(x0，y0)，
则x20＋y20＝4， (*)
? 把??x＝x02，
代入(*)式得y22
??y＝y0
4
＋x＝1.
故点M的轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆．
跟踪训练2 解 由三角形角平分线性质得|BQ||QP|＝|OB|
|OP|
＝2.
∴→BQ＝2→QP.
设Q(x，y)，P(x0，y0)，
则(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y)，
? ∴???
x－2＝2x0－2x，?x0＝3x－2
2，?y＝2y0－∴?
2y，
???y0＝3y
2.
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又∵点P在单位圆x＋y＝1上，
3x－223y2
∴()＋()＝1.
22
∴点Q的轨迹方程为
3x－24
29y2＋＝1.4 当堂训练
x2y2
1．A 2.A 3.＋＝1
189
4．43
5．解 以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立直角坐标系，设A(－3，0)，C(3，0)，
B(x，y)，则|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝2|AC|＝12，
∴B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，
且a′＝6，c′＝3，b′＝27.
x2y2
故所求的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
3627
2
22
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