发布时间 : 星期一 文章2020版高考数学二轮复习第1篇专题7解析几何第1讲小题考法 - - 直线与圆的方程学案更新完毕开始阅读
第1讲 小题考法——直线与圆的方程
一、主干知识要记牢 1．直线方程的五种形式 点斜式 y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不能表示y轴和平行于y轴的直线) 斜截式 y＝kx＋b(b为直线在y轴上的截距，且斜率为k，不能表示y轴和平行于y轴的直线) y－y1x－x1＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不能表示坐yx2－y12－x1两点式 标轴和平行于坐标轴的直线) xy＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不能表示坐标轴、平行ab截距式 于坐标轴和过原点的直线) 一般式 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0) 2.点到直线的距离及两平行直线间的距离 |Ax0＋By0＋C|(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝．
A2＋B2|C1－C2|
(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝2 ．
A＋B23．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)＋(y－b)＝r．
(2)圆的一般方程：x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)．
(3)圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的两端点是A(x1，
2
2
2
2
2
2
2
y1)，B(x2，y2))．
4．直线与圆位置关系的判定方法
(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0?相交，Δ<0?相离，Δ＝0?相切．
(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d
5．圆与圆的位置关系
已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则
(1)当|O1O2|＞r1＋r2时，两圆外离； (2)当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；
(3)当|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2时，两圆相交； (4)当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切； (5)当0≤|O1O2|＜|r1－r2|时，两圆内含． 二、二级结论要用好
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系 (1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0； (2)重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0； (3)相交?A1B2－A2B1≠0； (4)垂直?A1A2＋B1B2＝0． 三、易错易混要明了
1．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，忽视斜率不存在的情况直接将过定点P(x0，y0)的直线设为y－y0＝k(x－x0)等．
2．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.如果利用直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与
xyaal2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0，就可以避免讨论．
|C1－C2|
3．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式22，
A＋B导致错解．
4．易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．
考点一 直线方程
直线方程问题的2个关注点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．
(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．
1．已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为( C ) 3A．－ 23
C．－或0
2
B．0 D．2
32
解析 由l1∥l2得1×(－a)＝2a(a＋1)，即2a＋3a＝0，解得a＝0或a＝－. 经检验，
23
当a＝0或a＝－时均有l1∥l2，故选C．
2
π
2．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(－a，1)，且l1与l垂直，直
4线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝( B )
A．－4 C．0
B．－2 D．2
2－1
解析 由题知，直线l的斜率为1，则直线l1的斜率为－1，所以＝－1，所以a＝
3＋a2
－4.又l1∥l2，所以－＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2，故选B．
b3．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0．
??x－2y＋3＝0，
解析 由?
?2x＋3y－8＝0，?
??x＝1，
得?
?y＝2.?
∴l1与l2的交点为(1,2). 当所求直线斜率
不存在，即直线方程为x＝1时，显然不满足题意．当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0, ∵点P(0,4)到直线的距离为2，∴2＝4
∴k＝0或k＝. ∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0．
3
考点二 圆的方程
|－2－k|
，2
1＋k
圆的方程的2种求法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
1．(2018·湖北联考)已知a＞1，过P(a,0)作⊙O：x＋y＝1的两条切线PA，PB，其中
2
2
A，B为切点，则经过P，A，B三点的圆的半径为( D )
A．2a－1
2
B．
a＋1
2
C．a
D． 2
a解析 经过P，A，B三点的圆为以OP为直径的圆，所以半径为，选D．
2
2．(2018·蚌埠模拟)以抛物线y＝4x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为( D )
A．(x－2)＋y＝1 C．(x－2)＋y＝4
2
2
2
2
2
2
aB．(x－1)＋y＝1 D．(x－1)＋y＝4
2
2
22
解析 抛物线y＝4x的焦点为(1,0)，准线为：x＝－1. 根据题意可得圆心为(1,0)，半径为2. 圆的方程为(x－1)＋y＝4.故选D．
3．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为
2
2
x2＋y2－2x＝0．
解析 方法1：设圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0． ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
2
2
F＝0，??
∴?2＋D＋E＋F＝0，??4＋2D＋F＝0，
解得
D＝－2，??
?E＝0，??F＝0.
∴圆的方程为x＋y－2x＝0． 方法2：画出示意图如图所示，
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则△OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为