发布时间 : 星期六 文章数学竞赛讲座20讲更新完毕开始阅读
原理 若
>1，且B>0，则A>B。
【例3】已知a,b,c>0，求证：a2a
b2b
c2c
?ab+c
bc+aca+b
。 2．分析法
【例4】若x,y>0，求证：
>
。
【例5】若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a4
+b4
+c4
<2(a2
b2
+b2c2
+c2a2
)。 3．综合法
【例6】若a,b,c>0，求证：abc?(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。
【例7】已知△ABC的外接圆半径R=1，S△ABC=
，a,b,c是△ABC的三边长，令
S=
，t=。
求证：t>S。
4．反证法
【例8】已知a3
+b3
=2，求证：a+b?2。 5．数学归纳法
【例9】证明对任意自然数n，。
二、不等式证明的若干技巧
无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口。
第 49 页 共 64 页
1． 变形技巧
【例1】若n∈N，S=++222+，
求证：n 【例2】（1）若A、B、C∈[0，π]，求证： sinA+sinB+sinC?3sin。 （2）△ABC的三内角平分线分别交其外接圆于A‘,B’,C‘，求证：S△ABC?S△A’B‘C’。 2． 引入参变量 【例3】将一块尺寸为48370的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体铁盒，求铁盒的最大容积。 【例4】在△ABC中，求证：a2 +b2 +c2 ?4 △+(b-c)2 +(c-a)2 +(a-b)2 。 其中，a,b,c是△ABC的三边长，△= S△ABC。 3． 数形结合、构造 【例5】证明：?。 4． 递推 【例6】已知：x1=，x2=，222，xn=。求证：。 三、放缩法 【例1】若n∈N，n?2，求证：。 【例2】α、β都是锐角，求证：?9。 【例3】已知：a1?1，a1 a2?1，222，a1 a2222an?1，求证： 。 【例4】S=1+++222+，求S的整数部分[S]。 【例5】设a0=5，an=an-1+ ，n=1,2,···。求证：45 竞赛讲座18 -数学归纳法 基础知识 数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位． 1．数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法 设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 ①当n?n0（n0?N）时，P(n)成立； ②假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?1时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数n?n0时，P(n)成立． （2）第二数学归纳法 设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 ①当n?n0（n0?N）时，P(n)成立； ②假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?1时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整 第 50 页 共 64 页 数n?n0时，P(n)成立． 2．数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法 ①当n?1,2,3,?,l时，P(1),P(2),P(3),?,P(l)成立， ②假设n?k时P(k)成立，由此推得n?k?l时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数n?1时，P(n)成立． （2）反向数学归纳法 设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 ①P(n)对无限多个正整数n成立； ②假设n?k时，命题P(k)成立，则当n?k?1时命题P(k?1)也成立，那么根据①②对一切正整数 n?1时，P(n)成立． 3．应用数学归纳法的技巧 （1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n都成立，但命题本身对n?0也成立，而且验证起来比验证n?1时容易，因此用验证n?0成立代替验证n?1，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点． （2）起点增多：有些命题在由n?k向n?k?1跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点． （3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多． （4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设n?k时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用． （5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明． 5．归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法． 例题分析 例1．用数学归纳法证明： (1?1)(1?14)(1?17)?(1?1*3n?2)?33n?1（n?N,n?1） 例2．已知对任意n?N*，n?1，a3332n?0且a1?a2???an?(a1?a2???an)，求证：an?n．