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练习题(1) (曲线积分与曲面积分)
1．设L是从点A2, 1沿曲线2y?x2到点B22, 4的弧段, 则第一类曲线积
y 分I1?? ds的值为_____________ ,
Lx????yx2 第二类曲线积分I2?? dx?dy的值为_____________ .
Lxy2．设L是从点A?e?, 0, e? 沿曲线x?etcost , y?etsint , z?et到点B?1 , 0 , 1? 的弧段, 则第一类曲线积分I1?? ?x2?y2?z2?ds的值为_____________ ,
L?? 第二类曲线积分I2?? xdx?ydy?zdz的值为_____________ .
L3．设有曲线积分 I?? L?ydx?xdy22 其中L为椭圆,4x?y?1, 并取正向， 224x?y 则I 的值为_____________ .
4. 设?是逆时针方向环绕原点的简单光滑闭曲线，试计算积分 I1??xdx?ydy?ydx?xdy 和I?2? ?x2?y2. ?x2?y2??????5. 设有从点A(, )到点B(?, )再到点C(, ? )的折线L. 求积分
222222 I??cos2ydx?sin2xdy.
L6. 求空间曲线 x?3t,y?3t2,z?3t2上从O(0,0,0)到(3,3,2)一段的弧长. 7. 计算
? ? (x2?yz)dx?(y2?zx)dy?(z2?xy)dz，其中?是螺线
h?上从点A(a,0,0)到B(a,0,h)的一段. 2? x?acos?,y?asin?,z?8．设曲线积分I?? (x4?4xyp)dx?(kxqy2?5y4)dy与路径L无关, 则
L p?_______, q?_______, k?_______.
2xy2?3x29. 验证3dx?dy是某函数U(x,y)的全微分，并求此函数的表达式. 4yy10. 设函数f(x)在(??,??)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y?0)内的有 向分段光滑曲线，其起点为(a , b)，终点为(c , d). 记 I??1x[1?y2f(xy)]dx?2[y2f(xy)?1]dy Lyy (1) 求证：曲线积分I与路径无关；
(2) 当ab?cd?1时，求I的值. 11．确定常数?，使在右半平面x?0上的向量值函数
???42?242? A(x,y)?2xy(x?y)i?x(x?y)j
为某二元函数u(x,y)的梯度.
12．设f(x)具有二阶连续导数，f(0)?0,f?(0)?1，且
2 [xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?xy]dy?0为全微分方程，求f(x).
13. 设Q(x,y)在全平面上有连续的一阶偏导数, 且曲线积分?yexdx?Q(x,y)dy
L 与路径无关, 又对任意的t, 试求Q(x,y)的表达式.
? (t,1) (0,0) yexdx?Q(x,y)dy?? (1, t) (0,0) yexdx?Q(x,y)dy,
14. 设C?是区域D?{ (x,y) 0?x?1, 0?y?1 }的边界的正向. 求证：
?sinydy?yesinxdx?2. ?xeC?15. 设?是XY平面上的一个不含原点的有界闭区域，其面积为A. 又设曲面 ?:z?ax2?y2 , (x,y)??. 求证: 曲面?的面积S?Aa2?1. 16．计算??(x2?S1212y?z)dS，其中S为球面x2?y2?z2?a2. 24z(lx?my?nz)dS，其中S为上半球面 2a17. 计算曲面积分I???S x2?y2?z2?a2(z?0)，(l , m , n)为球面外法线的方向余弦.
18. 计算 I???y(x?z)dydz?x2dzdx?(y2?xz)dxdy 其中?是边长为a的正立
? 方体的表面并取外侧.
19．计算曲面积分
I???[f(x,y,z)?x]dydz?[y?2f(x,y,z)]dzdx?[f(x,y,z)?z]dxdy?
其中
f为连续函数，?为平面x?y?z?1在第一卦限部分的上侧.
xdydz?ydzdx?zdxdyx2?y2?z2 其中S是球面：x2?y2?z2?R2的上半
20．计算：I???S 部 分的下侧。
21. 用化成二重积分和利用Gauss公式这两种方法来计算第二类曲面积分 I???(x3?1)dyd?，其中?是半球面 z(y3?2)dzd?x(z3?3)dxd y? x2?y2?z2?1, z?0，积分沿?的关于Z轴的上侧. 22. 计算曲面积分 I?33322xdydz?ydxdz?(z?y?x)dxdy, 其中 ??S (1) S是球面x2?y2?z2?a2的外侧;
(2) S是半球面z?a2?x2?y2 的上侧;
23. 质点P沿以AB为直径的半圆周(位于直径AB之下)从点A(1, 2)运动到点
?? B(3, 4). 在这一过程中, 质点P受变力F作用, F的大小等于点P到原点O的
??? 距离, F的方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于, 求变力F对质点
2 P所做的功.
24．设圆锥面?:z?x2?y2(0?z?h)上分布有质量，假设其上各点的面密度 ?与该点到原点的距离成正比(比例系数为k), 求?的质量.
?25.设某流速场的速度矢量A?{1 , z, ezx2?y2?}，求A穿过曲面?:z?x2?y2
（1?z?2）的流量，其中?的法线方向与Z轴正向的夹角为钝角.
????A26．设 A ?xyi?cos(xy)j?cos(xz)k，求向量场 的散度. 27．设u?lnx2?y2?z2，求div(grad u).
1x2?y2?z2?，求向量场A 的散度和旋度.
28．设有向量场 A ?grad