发布时间 : 星期六 文章2020版高考数学二轮复习第二部分专题六函数与导数第2讲基本初等函数、函数与方程练习(文)(含解析)更新完毕开始阅读
第2讲 基本初等函数、函数与方程
A级 基础通关
一、选择题
1.(2019·北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
12
-xA.y=x C.y=log1x
2
B.y=2 1D.y= x1-x解析:易知y=2与y=log1x,在(0,+∞)上是减函数,由幂函数性质,y=在(0,
x2
12
+∞)上递减,y=x在(0,+∞)上递增.
答案:A
2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时,f(x)=2+2x-4,则f(x)的零点个数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
x解析:由于函数f(x)是定义在R上的奇函数, 故f(0)=0.
?1?由于f ??·f(2)<0, ?2?
而函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
故当x>0时有1个零点,根据奇函数的对称性可知, 当x<0时,也有1个零点.故一共有3个零点. 答案:B
1
3.(2018·天津卷)已知a=log2e,b=ln 2,c=log1,则a,b,c的大小关系是( )
3
2
A.a>b>c C.c>b>a
B.b>a>c D.c>a>b
1
解析:c=log1=log23,a=log2e,由y=log2x在(0,+∞)上是增函数,知c>a>1.
32又b=ln 2<1,故c>a>b.
答案:D
- 1 -
4.若函数y=a(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图象大致是( )
|x|
解析:由于y=a的值域为{y|y≥1},所以a>1,则y=logax在(0,+∞)上是增函数,又函数y=loga|x|的图象关于y轴对称.因此y=loga|x|的图象大致为选项B.
答案:B
5.(2019·衡水质检)若函数f(x)=|logax|-3(a>0,a≠1)的两个零点是m,n,则( )
A.mn=1 C.mn<1 解析:令f(x)=0,
B.mn>1 D.无法判断
-x|x|
1
得|logax|=x,
3
1
则y=|logax|与y=x的图象有2个交点,
3不妨设a>1,m<n,作出两函数的图象(如图). 11
所以m>n,即-logam>logan,
33所以loga(mn)<0,则mn<1. 答案:C
6.(2018·全国卷Ⅲ)设a=log0.20.3,b=log20.3,则( ) A.a+b<ab<0 C.a+b<0<ab
B.ab<a+b<0 D.ab<0<a+b
1
解析:由a=log0.20.3得=log0.30.2,
a1
由b=log20.3得=log0.32.
b11
所以+=log0.30.2+log0.32=log0.30.4,
ab11a+b则0<+<1,即0<<1.
abab - 2 -
又a>0,b<0,知ab<0, 所以ab<a+b<0. 答案:B 二、填空题
π??7.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)=cos?3x+?在[0,π]的零点个数为________. 6??解析:由题意知,cos(3x+
π
9
ππππkπ)=0,所以3x+=+kπ,k∈Z,所以x=+,66293
4π7π
;当k=2时,x=,均满足题意,所以函99
k∈Z,当k=0时,x=;当k=1时,x=
数f(x)在[0,π]的零点个数为3.
答案:3
8.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=ae.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有升,则m的值
4为________.
解析:因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等, 1nt5n所以函数y=f(t)=ae满足f(5)=ae=a,
2
ntat11?1?5
可得n=ln ,所以f(t)=a·??,
52?2?因此,当k min后甲桶中的水只有 L时,
4
akkf(k)=a·??=a,即??=,
22
所以k=10,由题可知m=k-5=5. 答案:5
9.设函数f(x)=ln(x+1),则不等式f(2x)>f(x+1)的解集为________. 解析:依题意ln[(2x)+1]>ln[(x+1)+1] 122
所以4x>(x+1),解之得x>1或x<-.
31??答案:?-∞,-?∪(1,+∞) 3??三、解答题
10.经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(单位:升)与速度x(单位:
2
2
2
?1?51??4?1?51??4
- 3 -
千米/时)(50≤x≤120)的关系可近似表示为:
1??75(x-130x+4 900),x∈[50,80),y=?
x??12-60,x∈[80,120].
2
(1)该型号汽车速度为多少时,可使得每小时耗油量最低?
(2)已知A,B两地相距120千米,假定该型号汽车匀速从A地驶向B地,则汽车速度为多少时总耗油量最少?
解:(1)当x∈[50,80)时,
y=(x2-130x+4 900)=[(x-65)2+675],
1
当x=65时,y有最小值×675=9.
75
当x∈[80,120]时,函数单调递减,故当x=120时,y有最小值10. 因为9<10,故当x=65时每小时耗油量最低. 120
(2)设总耗油量为l,由题意可知l=y·. 175175
x①当x∈[50,80)时,
l=y·
1208?4 9008
-130?=?x+≥(2?xx5??5
x×4 900
-130)=16, x4 900
当且仅当x=,即x=70时,l取得最小值16.
x1201 440②当x∈[80,120]时,l=y·=-2为减函数,
xx当x=120时,l取得最小值10.
因为10<16,所以当速度为120千米/时时,总耗油量最少.
B级 能力提升
??ln x,x>0,11.已知函数f(x)=?若方程f(x)=ax有三个不同的实数根,则
?2x+1,x≤0,?
a的取
值范围是________.
解析:在同一坐标系内,作函数y=f(x)与y=ax的图象,当y=ax是y=ln x的切线1
时,设切点P(x0,y0),所以y0=ln x0,a=(ln x)′|x=x0=,所以y0=ax0=1=ln x0,x0
x0
1
=e,故a=.
e
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