发布时间 : 星期六 文章2020版高考数学二轮复习第二部分专题六函数与导数第2讲基本初等函数、函数与方程练习(文)(含解析)更新完毕开始阅读
第2讲 基本初等函数、函数与方程
A级 基础通关
一、选择题
1．(2019·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
12
－xA．y＝x C．y＝log1x
2
B．y＝2 1D．y＝ x1－x解析：易知y＝2与y＝log1x，在(0，＋∞)上是减函数，由幂函数性质，y＝在(0，
x2
12
＋∞)上递减，y＝x在(0，＋∞)上递增．
答案：A
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x＞0时，f(x)＝2＋2x－4，则f(x)的零点个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
x解析：由于函数f(x)是定义在R上的奇函数， 故f(0)＝0.
?1?由于f ??·f(2)＜0， ?2?
而函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故当x＞0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知， 当x＜0时，也有1个零点．故一共有3个零点． 答案：B
1
3．(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log1，则a，b，c的大小关系是( )
3
2
A．a＞b＞c C．c＞b＞a
B．b＞a＞c D．c＞a＞b
1
解析：c＝log1＝log23，a＝log2e，由y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，知c＞a＞1.
32又b＝ln 2＜1，故c＞a＞b.
答案：D
- 1 -
4．若函数y＝a(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
|x|
解析：由于y＝a的值域为{y|y≥1}，所以a＞1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象大致为选项B.
答案：B
5．(2019·衡水质检)若函数f(x)＝|logax|－3(a＞0，a≠1)的两个零点是m，n，则( )
A．mn＝1 C．mn＜1 解析：令f(x)＝0，
B．mn＞1 D．无法判断
－x|x|
1
得|logax|＝x，
3
1
则y＝|logax|与y＝x的图象有2个交点，
3不妨设a＞1，m＜n，作出两函数的图象(如图)． 11
所以m＞n，即－logam＞logan，
33所以loga(mn)＜0，则mn＜1. 答案：C
6．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( ) A．a＋b＜ab＜0 C．a＋b＜0＜ab
B．ab＜a＋b＜0 D．ab＜0＜a＋b
1
解析：由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，
a1
由b＝log20.3得＝log0.32.
b11
所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，
ab11a＋b则0＜＋＜1，即0＜＜1.
abab - 2 -
又a＞0，b＜0，知ab＜0， 所以ab＜a＋b＜0. 答案：B 二、填空题
π??7．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos?3x＋?在[0，π]的零点个数为________． 6??解析：由题意知，cos(3x＋
π
9
ππππkπ)＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，66293
4π7π
；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函99
k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝
数f(x)在[0，π]的零点个数为3.
答案：3
8．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝ae.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有升，则m的值
4为________．
解析：因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等， 1nt5n所以函数y＝f(t)＝ae满足f(5)＝ae＝a，
2
ntat11?1?5
可得n＝ln ，所以f(t)＝a·??，
52?2?因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，
4
akkf(k)＝a·??＝a，即??＝，
22
所以k＝10，由题可知m＝k－5＝5. 答案：5
9．设函数f(x)＝ln(x＋1)，则不等式f(2x)＞f(x＋1)的解集为________． 解析：依题意ln[(2x)＋1]＞ln[(x＋1)＋1] 122
所以4x＞(x＋1)，解之得x＞1或x＜－.
31??答案：?－∞，－?∪(1，＋∞) 3??三、解答题
10．经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(单位：升)与速度x(单位：
2
2
2
?1?51??4?1?51??4
- 3 -
千米/时)(50≤x≤120)的关系可近似表示为：
1??75（x－130x＋4 900），x∈[50，80），y＝?
x??12－60，x∈[80，120].
2
(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？
(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
解：(1)当x∈[50，80)时，
y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，
1
当x＝65时，y有最小值×675＝9.
75
当x∈[80，120]时，函数单调递减，故当x＝120时，y有最小值10. 因为9＜10，故当x＝65时每小时耗油量最低． 120
(2)设总耗油量为l，由题意可知l＝y·. 175175
x①当x∈[50，80)时，
l＝y·
1208?4 9008
－130?＝?x＋≥(2?xx5??5
x×4 900
－130)＝16， x4 900
当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值16.
x1201 440②当x∈[80，120]时，l＝y·＝－2为减函数，
xx当x＝120时，l取得最小值10.
因为10＜16，所以当速度为120千米/时时，总耗油量最少．
B级 能力提升
??ln x，x＞0，11．已知函数f(x)＝?若方程f(x)＝ax有三个不同的实数根，则
?2x＋1，x≤0，?
a的取
值范围是________．
解析：在同一坐标系内，作函数y＝f(x)与y＝ax的图象，当y＝ax是y＝ln x的切线1
时，设切点P(x0，y0)，所以y0＝ln x0，a＝(ln x)′|x＝x0＝，所以y0＝ax0＝1＝ln x0，x0
x0
1
＝e，故a＝.
e
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