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f · · ··a c 1 2 3
b
5、设函数f :A?B，若f 既是满射的，又是单射的，则称f 是双射的（或一一对应的）。
6、设f :R?R，对于任意的x1, x2?R，若x1 设R是A上的等价关系，定义一个从A到A/R的函数g:A?A/R且g(a)=[a]，它把A中的元素a映射到a的等价类[a]，称g是从A到商集A/R的自然映射。 例： 1. 设A={a, b, c}, A’={a}，则有函数?A’ :A?{0, 1}， ?A’ (a)=1, ?A’ (b)=0, ?A’ (c)=0. 2. 设A={1, 2, 3}, R={<1,2>,<2,1>}∪IA，则有函数g:A?A/R， g(1)=g(2)={1, 2}, g(3)={3}. 4.7函数的复合和反函数 设函数g :A?B, f :B?C，则复合函数 f ? g :A?C定义为： 对任意的x∈A，有(f ? g)(x) = f (g (x)).（函数的复合运算，积运算） 例： 设f :Z?Z, f(x) = 2x + 3, g:Z?Z, g(x) = 3x + 2. 求 f ? g和g ? f. (f ? g )(x) = f (g(x)) = f (3x + 2) = 2(3x + 2) + 3 = 6x + 7 (g ? f )(x) = g(f (x)) = g(2x + 3) = 3(2x + 3) + 2 = 6x + 11 [定理]：设f :A→B, g:B→C。 （1）若f, g都是满射，则g?f :A→C也是满射； （2）若f, g都是单射，则g?f :A→C也是单射； （3）若f, g都是双射，则g?f :A→C也是双射。 证明(2)：对任意x1∈A，x2∈A且x1≠x2，由于f 是单射，故有： f (x1) ≠f (x2) 记 f (x1 ) =y1， f (x2 ) =y2 . 又因为g是单射，所以， g(y1) ≠g(y2) 从而，g(f (x1) ≠ g(f (x2)，即 g?f (x1) ≠ g?f (x2). 对于双射函数f :A?B，称f -1:B?A是 f 的反函数。 对于任意x∈A, y∈B，若f (x)=y，则 f -1(y)=x. [定理]： 设f :A?B是双射的，则f -1是函数，且是从B到A的双射函数。 对任何双射函数f :A?B和它的反函数f -1 :B?A，它们的复合函数都是恒等函数，且满足f -1? f = IA , f ? f –1= IB . 图中定义了函数f , g和h. · ·· f 1 2 3 4 1 · ··5 · ··2 3 4 1 2 3 4 g 设V1= ?(x ? y)= ?(x) ?’ ?(y)， ?(△x)= △’?(x)， ?(k1)=k2. 则称?是V1到V2的同态映射，简称同态。 例1：设V1= ?(x+y)=(x+y) mod n=(x) mod n ? (y) mod n =?(x) ? ?(y). 例2： 设V1= ?(x+y) = ex+y = ex · ey = ?(x) · ?(y). 例3： 设V1= ?: R→R+ ，?(x)=ex，则?是V1到V2的同态。 ∵?x, y?R，有： ?(x+y)= ex+y = ex · ey = ?(x) · ?(y), ?(-x)= e-x = (ex)-1= (?(x))-1. 例4： 设V1= ?: Z→Zn，?(x)=(x) mod n，则?是V1到V2的同态。 ∵?x, y?Z，有： ?(x+y) = (x+y) mod n = (x) mod n ? (y) mod n = ?(x) ? ?(y), ?(0) = 0 mod n = 0. 6 · · 1 2 3 4 (1) 求f , g和h的象。 (2) 求g ? f , f ?h和g ? g . (3) 指出f, g, h中哪些函数是单射的，哪些函数是满射的。 (4) f, g, h种哪些函数存在反函数，给出其反函数的表达式。 解：(1) 令A={1,2,3,4}，则f, g, h都是从A到A的函数， f(A)={1, 2, 4}, g(A)={1, 2, 3, 4}=A, h(A)={1, 3}. (2) g?f :A?A, g?f (1)=4, g?f (2)=2, g?f (3)=2, g?f (4)=3. f ?h:A?A, f ?h(1)=2, f ?h(2)=1, f ?h(3)=2, f ?h(4)=1. g ?g:A?A, g ?g(1)=4, g ?g(2)=3, g ?g(3)=2, g ?g(4)=1. (3) 只有g是单射的，满射的。 (4) 只有g有反函数g-1 :A?A, g-1(1)=3, g-1(2)=1, g-1(3)=4, g-1(4)=2. 5.3 代数系统的同态与同构 · · · ·h 1 ·· · ·· · ··2 3 4 设?是V1= 设?是V1= 自同态：V到V自身的同态； 零同态：所有元素映射到幺元； 自同构：双射的自同态； 单自同态：单射的自同态。 定理： 设V1, V2为代数系统，?和*为V1上的二元运算，?’和*’为V2上的二元运算，如果?: V1→V2是从Vl到V2的满同态，则： (1) 若?是可交换的（可结合的，幂等的），则?’也是可交换的（可结合的，幂等的）。 (2) 若?对*是可分配的，则?’对*’也是可分配的；若?对*是可吸收的，则?’对*’也是可吸收的。 (3) 若e为?运算的幺元，则?(e)为?’运算的幺元。 (4) 若?为?运算的零元，则?(?)为?’运算的零元。 (5) 设u?V1，若u-1是u关于?运算的逆元，则?(u-1)是?(u)的逆元，即?(u)-1= ?(u-1)。 6.1群 设V= 子半群：半群的子代数。 子独异点：独异点的子代数。 积半群：若V1, V2是半群，则V1?V2是积半群。 积独异点：若V1, V2是独异点，则V1?V2是积独异点。 (1) (1)中除了 设V1= 则称?为半群V1到V2的同态。 设V1= ?: S1→S2，且?x, y?S1，有： ?(x ? y)= ?(x) * ?(y)， ?(e1)= e2， 则称?为独异点V1到V2的同态。 设 (1) 7