发布时间 : 星期二 文章2020版高考数学大二轮复习解析几何第三讲圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的最值范围证明问题限时训练理更新完毕开始阅读
第1课时 圆锥曲线的最值、范围、证明问题
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1．(2019·广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，
2椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为3.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另一交点为B，求证：直→→
线AB与x轴交于定点P，并求PA·F2C的取值范围．
c11222
解析：(1)由题意知＝，·2c·b＝3，a＝b＋c，解得c＝1，a＝2，b＝3.所以椭
a22
圆M的标准方程是＋＝1.
43
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，－y1)，直线AB：y＝kx＋m.将y＝kx＋m，代入
x2y2
x2y2
8km4m－12
＋＝1得，(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0.则x1＋x2＝－2，x1x2＝2. 434k＋34k＋3
2
2
2
2
因为B，C，F2共线，所以kBF2＝kCF2，即
kx2＋m－?kx1＋m?
＝， x2－1x1－1
整理得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，
4m－128km所以2k2－(m－k)2－2m＝0，解得m＝－4k.所以直线AB：y＝k(x－4)，与x4k＋34k＋3轴交于定点P(4,0)．
3272→→222
因为y1＝3－x1，所以PA·F2C＝(x1－4，y1)·(x1－1，－y1)＝x1－5x1＋4－y1＝x1－5x1
4410?2187?＋1＝?x1－?－. 7?4?7
→→?18?因为－2 ?7? 2 x2y2 2．(2019·梅州一模)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为点F1，F2，其离 ab1 心率为，短轴长为23. 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F1的直线l1与椭圆C交于M，N两点，过点F2的直线l2与椭圆C交于P，Q两点，且l1∥l2，证明：四边形MNPQ不可能是菱形． c1222 解析：(1)由已知，得＝，b＝3，又c＝a－b， a2 故解得a＝4，b＝3， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 43(2)证明：由(1)，知F1(－1，0)，如图， 易知直线MN不能平行于x轴， 所以令直线MN的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2， ??3x＋4y－12＝0 联立方程? ?x＝my－1? 2 22 2 2 2 x2y2 y2)， 2 得(3m＋4)y－6my－9＝0， 6m－9 所以y1＋y2＝2，y1y2＝2. 3m＋43m＋4此时|MN|＝?1＋m?[?y1＋y2?－4y1y2]. 同理，令直线PQ的方程为x＝my＋1，P(x3，y3)，Q(x4，y4)， －6m－9 此时y3＋y4＝2，y3y4＝2， 3m＋43m＋4此时|PQ|＝?1＋m?[?y3＋y4?－4y3y4]， 故|MN|＝|PQ|.所以四边形MNPQ是平行四边形． →→ 若平行四边形MNPQ是菱形，则OM⊥ON，即OM·ON＝0，于是有x1x2＋y1y2＝0. 又x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝my1y2－m(y1＋y2)＋1， 所以有(m＋1)y1y2－m(y1＋y2)＋1＝0， －12m－5 整理得到＝0， 2 3m＋4即12m＋5＝0， 上述关于m的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ不可能是菱形． 2 2 2 2 2 2 2x2y22 3．(2019·安庆二模)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(2，2)． ab2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A、B为椭圆C的左、右顶点，过C的右焦点F作直线l交椭圆于M，N两点，分别记△ABM，△ABN的面积为S1，S2，求|S1－S2|的最大值． 解析：(1)根据题意可得：＝解得：a＝8，b＝2. 2 ca242222 ，2＋2＝1，a＝b＋c， 2ab故椭圆C的标准方程为：＋＝1. 84 (2)由(1)知F(2,0)，当直线l的斜率不存在时，S1＝S2，于是|S1－S2|＝0； 当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k(x－2)(k≠0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， x2y2 y＝k?x－2?，??22 联立?xy＋＝1，??84 2 得(1＋2k)x－8kx＋8k－8＝0. 2222 8k8k－8 ∴x1＋x2＝2，x1x2＝2， 1＋2k1＋2k8k1??于是|S1－S2|＝×42×|y1＋y2|＝22|k(x1＋x2)－4k|＝22?k×2－4k?＝ 2?1＋2k?82|k|8282≤＝4. 2＝ 1＋2k122 ＋2|k||k| 当且仅当k＝± 2 时等号成立，此时|S1－S2|的最大值为4. 2 2 2 综上，|S1－S2|的最大值为4. 4．(2019·朝阳区模拟)过椭圆W：＋y＝1的左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点， 2其中A(0,1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点(不与A，B重合)，且D点不与点(0，－1)重合．过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G. (1)求B点坐标和直线l1的方程； (2)求证：|EF1|＝|F1G|. x2 2 y＝x＋1??2 解析：(1)由题意可得直线l1的方程为y＝x＋1.与椭圆方程联立，由?x2 ＋y＝1??2 1??4 可求B?－，－?. 3??3 (2)证明：当l2与x轴垂直时，C，D两点与E，G两点重合，由椭圆的对称性，|EF1|＝|F1G|. 当l2不与x轴垂直时， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，l2的方程为y＝k(x＋1)(k≠1)． y＝k?x＋1???2 由?x2 ＋y＝1??2 2 消去y，整理得(2k＋1)x＋4kx＋2k－2＝0. 2222 －4k2k－2则x1＋x2＝2，x1x2＝2. 2k＋12k＋1 2