发布时间 : 星期四 文章高中数学 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程学案 新人教A版选修44更新完毕开始阅读
二 圆锥曲线的参数方程
1．理解椭圆的参数方程，了解参数的意义，会用椭圆的参数方程解决简单问题． 2．理解双曲线的参数方程，了解参数的意义，会用双曲线的参数方程解决简单问题． 3．理解抛物线的参数方程，了解参数的意义，会用抛物线的参数方程解决简单的相关问题．
4．通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．
1．椭圆的参数方程
x2y2
中心在原点，焦点在x轴上的椭圆2＋2＝1的参数方程是__________．规定参数φ的
ab取值范围为________．
?(1)圆的参数方程：
?x＝rcos θ，?
??y＝rsin θ
(θ为参数)中的参数θ是动点M(x，y)的旋转角，
??x＝acos φ，
但在椭圆的参数方程?
?y＝bsin φ?
(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，
它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．
(2)通常规定φ∈[0,2π)．
x－m(3)当椭圆的普通方程不是标准形式时，也可以表示为参数方程的形式．如
a2y－nb2
2
2
＋
??x＝m＋acos φ，
＝1(a＞b＞0)可表示为?
?y＝n＋bsin φ?
?x＝acos θ，?
??y＝bsin θ
(φ为参数)．
【做一做1－1】 椭圆?
(θ为参数)，若θ∈[0,2π)，则椭圆上的点
(－a,0)对应的θ为( )．
π3π
A．π B. C．2π D. 22
【做一做1－2】 A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运
369动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程．
2．双曲线的参数方程
x2y2
x2y2
中心在原点，焦点在x轴上的双曲线2－2＝1的参数方程是__________规定参数φ的
ab取值范围为__________．
1
αα??x＝sin2＋cos2，
【做一做2】 参数方程?
??y＝2＋sin α22
22
2
22
(α为参数)的普通方程是( )．
A．y－x＝1 B．x－y＝1
C．y－x＝1(|x|≤2) D．x－y＝1(|x|≤2)
3．抛物线的参数方程
2
(1)抛物线y＝2px的参数方程为____________． (2)参数t的几何意义是________________． 答案：1.?
??x＝acos φ，??y＝bsin φ2
(a＞b＞0) [0,2π)
【做一做1－1】 A
【做一做1－2】 解：由于动点C在该椭圆上运动，所以可设点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6,0)，B(0,3)．
由重心坐标公式可知
6＋0＋6cos θx＝＝2＋2cos θ，??3
?0＋3＋3sin θ＝1＋sin θ.??y＝3由此可得
x－2
4
2
＋(y－1)＝1即为所求．
2
2.?
?x＝asec φ，?
??y＝btan φ.
απ3π φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠
22
2
2
【做一做2】 C 因为x＝1＋sin α，所以sin α＝x－1.
2222
又因为y＝2＋sin α＝2＋(x－1)，所以y－x＝1. 而x＝sin＋cos＝2sin(＋)，故x∈[－2，2]．
2224
?x＝2pt，?
3．(1)?
??y＝2pt，
2
ααπ
t∈(－∞，＋∞)
(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数
2
1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义
1x′＝x，??a剖析：从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令?1
y′＝??by，
x2y2
椭圆2＋2＝1可以
ab??x′＝cos φ，
变成圆x′＋y′＝1，利用圆x′＋y′＝1的参数方程?
?y′＝sin φ?
2
2
2
2
(φ是参数)，
??x＝acos φ，x2y2
可以得到椭圆2＋2＝1的参数方程?
ab?y＝bsin φ?
(φ是参数)，因此，参数φ的几何意
义是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角)，而不是
OM的旋转角．
2．圆锥曲线的参数方程不是惟一的
x2y2
剖析：同一条圆锥曲线的参数方程形式是不惟一的．例如，椭圆2＋2＝1的参数方程
ab可以是?
?x＝acos θ，?
??y＝bsin θ
的形式，也可以是?
?x＝asin θ，?
??y＝bcos θ
的形式，二者只是形式上不同
而已，实质上都是表示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也不同．
题型一 求圆锥曲线的参数方程
【例1】 椭圆中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距是25，求椭圆的参数方程．
分析：可先根据题目条件求出椭圆的普通方程，然后化为参数方程．
反思：求参数方程的关键是选准参数，有时可选的参数并不惟一，这时要选择一个恰当的．另外求参数方程比较困难时，也可以先求出它的普通方程，再化为参数方程．
题型二 圆锥曲线普通方程与参数方程的互化
【例2】 参数方程?
?x＝cos θ?
??y＝sin θsin θ＋cos θ，sin θ＋cos θ
(θ为参数)表示什么曲线？
分析：消去参数，化为普通方程再判断．
反思：有些参数方程很难直接看出它所表示的曲线类型，这时只需先把它化为普通方程再作研究即可．
题型三 圆锥曲线参数方程的应用
2
【例3】 设M为抛物线y＝2x上的动点，给定点M0(－1,0)，点P为线段M0M的中点，求点P的轨迹方程．
分析：合理选取参数，将抛物线方程转化为参数方程，再寻求解题方法． 题型四 易错辨析
【例4】 已知P为椭圆＋＝1上一点，且∠POx＝，求点P的坐标．
16123
x2y2π 3
错解：设点P的坐标为(x，y)，如图所示， π
x＝4cos，??3
由椭圆的参数方程得?π
y＝23sin，??3
即P的坐标为(2,3)．
x2y2
答案：【例1】 解：由题意，设椭圆的方程为2＋2＝1，
ab则a＝3，c＝5， ∴b＝2，
??x＝3cos φ，
∴椭圆的普通方程为2＋2＝1，化为参数方程得?
32?y＝2sin φ?
x2y2
(φ为参数)．
sin 2θ＋cos 2θ＋12
【例2】 解：∵x＝cos θ·sin θ＋cosθ＝，
21sin 2θ＋cos 2θ∴x－＝. 22
sin 2θ－cos 2θ＋12
∵y＝sinθ＋sin θcos θ＝，
21sin 2θ－cos 2θ∴y－＝. 221212
∴(x－)＋(y－)
22＝
1＋2sin 2θcos 2θ＋1－2sin 2θcos 2θ1
＝. 42
112
∴原参数方程表示的曲线是圆心为(，)，半径为的圆．
222
??x＝2t，
【例3】 解：令y＝2t，则x＝＝2t，得抛物线的参数方程为?
2??y＝2ty2
2
2
(t为参
数)，则设动点M(2t2t)，定点M0(－1,0)．
设点P的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得
2,
4