发布时间 : 星期日 文章（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理 10.2 排列与组合教师用书 理 苏教版更新完毕开始阅读
第十章 计数原理 10.2 排列与组合教师用书 理 苏教版
1．排列与组合的概念
名称 排列 从n个不同元素中取出序排成一列 组合 定义 按照一定的顺m(m≤n)个元素 并成一组 2.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用An表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cn表示． 3．排列数、组合数的公式及性质
(1)An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝公式 mmmn！ n－m！mmnAnnn－(2)C＝m＝Am＝n－m！n－m＋ n！ m！n－m！n(1)0！＝1；An＝n！ 性质 (2)Cn＝Cn；Cn＋1＝Cn＋Cn__ 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
mn－mmm－1m(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( × ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ ) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( √ ) (5)An＝nAn－1.( √ ) (6)kCn＝nCn－1.( √ )
1．(2016·四川改编)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________． 答案 72
解析 由题意可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C3种情况，再将剩下的4个数字排列得到A4种情况，则满足条件的五位数有C3·A4＝72(个)．
2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________． 答案 24
解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A4＝4×3×2＝24.
3．(2016·苏州模拟)安排6名歌手的演出顺序时，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，则排法的种数为________． 答案 480
解析 先全排列有A6，甲、乙、丙的顺序有A3，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序A6
有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，共4种顺序，所以不同排法的种数为4×3＝480.
A34．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种． 答案 14
解析 分两类：①有1名女生：C2C4＝8.
13
6
6
3
31
4
1
4
mm－1
kk－1
②有2名女生：C2C4＝6.
∴不同的选派方案有8＋6＝14(种)．
5．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________． 答案 48
解析 末位数字排法有A2种，其他位置排法有A4种， 共有A2A4＝48(种).
13
1
3
22
题型一 排列问题
例1 (1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法． (2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．
答案 (1)2 520 (2)216
解析 (1)问题即为从7个元素中选出5个全排列， 有A7＝2 520(种)排法．
(2)当最左端排甲时，不同的排法共有A5种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C4A4种．故不同的排法共有A5＋C4A4＝120＋96＝216(种)． 引申探究
1．本例(1)中，若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？
解 前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A7＝5 040(种)排法．
2．本例(1)中，若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？
解 相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A3种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A4种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A2种排法．根据分步计数原理，共有A3·A4·A2＝288(种)排法.
3
4
24
2
3
7
14
5
14
5
5
3．本例(1)中，若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？
解 不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A4种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A5种排法，故共有A4·A5＝1 440(种)排法．
4．本例(1)中，若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？
解 先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有A5＝5(种)排法；再安排其他人，有A6＝720(种)排法．所以共有A5·A6＝3 600(种)排法． 思维升华 排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数．
求：(1)有多少个含2,3，但它们不相邻的五位数？
(2)有多少个含数字1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？
解 (1)先不考虑0是否在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有A4个，2,3去排四个空档，有A4个，即有A4A4个；而0在首位时，有A3A3个，即有A4A4－A3A3＝252(个)含有2,3，但它们不相邻的五位数．
(2)在六个位置先排0,4,5，先不考虑0是否在首位，则有A6个，去掉0在首位，即有A6－A5个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有A6－A5＝100(个)六位数． 题型二 组合问题
例2 (1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是________．
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2
2
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3
2
32
22
32
22
3
6
1
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