代数学引论(聂灵沼 - 丁石孙版)第一章习题答案

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(ab)(ac)=(a+b-1)(a+c-1)= (a+b-ab)+(a+c-ac)-1=2a+b+c-ab-ac-1,

所以

a(bc)= (ab)(ac).

由于和满足交换律,故此

(bc)a= (ba)(ca).

因此新定义的乘法对新定义的加法满足分配律 (iv) 设0为环(L,+,)的零元,则

0a=a0=a

由(i),(ii),(iii),(iv)可得到(L,,)为交换幺环. (v) 最后证明(L,+,)与(L,,)同构:设

f: L→L x1-x,

容易证明f为(L,+,)到(L,,)的同构映射.

30. 给出环L与它的一个子环的例子,它们具有下列性质: (i) L具有单位元素,但S无单位元素; (ii) L没有单位元素,但S有单位元素; (iii) L, S都有单位元素,但互不相同; (iv) L不交换,但S交换. 解:

(i) L=Z,S=2Z;

(ii) L={|a,b∈R},S={|a∈R}; (iii) L={|a,b∈R},S={|a∈R}; (iv) L={|a,b∈R},S={|a∈R};

31. 环L中元素eL称为一个左单位元,如果对所有的a∈L,

eLa= a;

元素eR称为右单位元,如果对所有的a∈L, aeR=a. 证明: (i) 如果L既有左单位元又有右单位元,则L具有单位元素; (ii) 如果L有左单位元,L无零因子,则L具有单位元素; (iii) 如果L有左单位元,但没有右单位元,则L至少有两个左单位元素. 证明:

(i) 设eL为一个左单位元,eR为右单位元,则eLeR=eR=eL.记e=eR=eL,则对所有的a∈L,ea=ae=a,

因此e为单位元素;

(ii) 设eL为一个左单位元,则对所有的a(≠0)∈L,a(eLa)=a2;另一方面,a(eLa)=(aeL)a. 所以a2=(aeL)a.因为L无零因子,所以满足消去律[注],故此a= aeL.另外,若a=0,则a= aeL=eLa.

因此左单位元eL正好是单位元. (iii) 设eL为一个左单位元,因为L中无右单位元,故存在x∈L,使得xeL≠x,即xeL-x≠0, 则eL+ xeL-x≠eL,但是对所有的a∈L,(eL+ xeL-x)a=a,因此eL+ xeL-x为另一个左单位元,所以L至少有两个左单位元素.

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[注意] L无零因子,则满足消去律(参考教材46页). 32. 设F为一域.证明F无非平凡双边理想. 证明:

设I为F的任意一个理想,且I≠{0},则对任意a(≠0)∈I,则a-1∈F,于是

a-1a=1∈I.

从而F中任意元素f,有

f1=f∈I,

故I=F,即F只有平凡双边理想.

[讨论] 事实上,一个体(又称除环)无非平凡双边理想. 另一方面,若L是阶数大于1的(交换)幺环,并且除了平凡理想,没有左或右理想,则L是一体(域).

33. 如果L是交换环,a∈L,

(i) 证明La={ra|r∈L}是双边理想;

(ii) 举例说明,如果L非交换,则La不一定是双边理想. 证明:

(i) 容易验证La为L的一个加法群. 任取ra∈La,l∈L,则

l(ra)=(lr)a∈La,(ra)l=r(al)=r(la)=(rl)a∈La

故La为L的一个双边理想.

(ii) 设L=M2(R),那么L显然不是交换环,取h=,下面考察Lh是否为L的理想: 取k=,容易验证h∈Lh,hk Lh,因此Lh不是L的一个理想.

34. 设I是交换环L的一个理想,令

radI={r∈L|rn∈I对某一正整数n},

证明radI也是一个理想.radI叫做理想I的根.

35. 设L为交换幺环,并且阶数大于1,如果L没有非平凡的理想,则L是一个域. 证明:

只要证明非零元素均可逆即可.任取a∈L,那么La和aL是L的理想,且La≠{0},aL≠{0},因L无平凡的理想,故此La=aL=L,因此ax=1和ya=1都有解,因而a为可逆元.

36. Q是有理数域,Mn(Q)为n阶有理系数全体矩阵环.证明无非平凡的理想(这种环称为单 环). 证明:

我们社K为Mn(Q)的非零理想,下面证明K=Mn(Q).为了证明这一点,只要证明n阶单位矩阵E∈K.记Eij为除了第i行第j列元素为1,其余元素全为0的矩阵.那么

EijEst=

而E=E11+E22+…+Enn.我们只要证明Eii∈K(i=1,2,…,n)就有E∈K.

设A∈K,且A≠0,又令A=(aij)n×n,假设akj≠0,则有EikAEji=akjEii(i=1,2,…,n).由于akj≠0,故存在逆元akj-1.设B= akj-1Eii,则

BEikAEji= akj-1EiiEikAEji= akj-1EikAEji=EikEkjEji=Eii.

因为K为理想,A∈K,所以Eii=BEikAEji∈K,证毕.

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37. 设L为一环,a为L中一非零元素.如果有一非零元素b使aba=0,证明a是一个左零 因子或一右零因子. 证明:

若ab=0,则a为左零因子;若ab≠0,则aba=(ab)a=0,故ab为右零因子.

38. 环中元素x称为一幂零元素,如果有一正整数n使xn=0,设a为幺环中的一幂零元素, 证明1-a可逆.

证明:设an=0,那么

(1+a+a2+…+an-1)(1-a) =(1-a) (1+a+a2+…+an-1) =1-an=1

因此1-a可逆.

39. 证明:在交换环中,全体幂零元素的集合是一理想. 40. 设L为有限幺环.证明由xy=1可得yx=1. 证明:

当L只有一个元素,即L={0},亦即0=1[注],此时显然有xy=1=xy;当L有多于一个元素时(即0≠1时),若xy=1,y不是左零元[注],因此yL=L.又因L为有限环,所以存在z∈L,使得yz=1.

注意到(xy)z=z,x(yz)=x,所以x=z,即yx=1.

[注意]

1.幺环多于一个元素当且仅当0≠1. 2.当L有多于一个元素时(即0≠1时),若xy=1,y不是左零元.因为若存在z≠0使得yz=0,则z=(xy)z=x(yz)=0,产生矛盾.

41. 在幺环中,如果对元素a有b使ab=1但ba≠1,则有无穷多个元素x,适合ax=1. (Kaplansky定理) 证明:

首先,若ab=1但ba≠1,则a至少有两个右逆元[注].

现在假设a只有n(>1)个右逆元,并设这些元素为xi(i=1,2,…,n).那么

a(1-xia+x1)=1(i=1,2,…,n),

又当i≠j时,1-xia+x1≠1-xja+x1[注],这里i,j=1,2,…,n.于是

{xi|i=1,2,…,n}={1-xia+x1| i=1,2,…,n },

故存在xk∈{xi|i=1,2,…,n}使得

x1=1-xka+x1,

xka=1.

因为n>1,我们取xt≠xk∈{xi|i=1,2,…,n},那么

(xka)xt=xt,(xka)xt =xk(axt)=xk

因此xt=xk,产生矛盾,所以假设不成立,即a有无穷多个右逆元. [注意]

1. 若ab=1但ba≠1,则a至少有两个右逆元. 因为易验证1-ba+a就是另一个右逆元.

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2. 假设当i≠j时,1-xia+x1=1-xja+x1,则xia=xja,故xiax1=xjax1,因此xi=xj,产生矛盾. 42. 设L是一个至少有两个元素的环. 如果对于每个非零元素a∈L都有唯一的元素b使得

aba=a.

证明:

(i) L无零因子; (ii) bab=b;

(iii) L有单位元素; (iv) L是一个体. 证明:

(i) 先证明L无左零因子,假设a为L的一个左零因子,那么a≠0,且存在c≠0,使得ac=0,于是cac=0. 因a≠0,则存在唯一b使得aba=a.但

a(b+c)a=a,b+c≠b

产生矛盾,所以L无左零因子.

类似可证L无右零因子.

(ii) 因aba=a,所以abab=ab. 由(i)的结论知L无零因子,因此满足消去律,而a≠0,故bab=b.

(iii) 我们任一选取a(≠0)∈L,再设aba=a(这里b是唯一的),首先证明ab=ba.因为

a(a2b-a+b)a=a,

所以a2b-a+b=b,即a2b=a=aba,由消去律得到ab=ba.

任取c∈L,则ac=abac,故此c=(ba)c=(ab)c;另一方面,ca=caba,故此c=c(ab).综上得到c=(ab)c=c(ab),所以ab就是单位元素,我们记ab=ba=1.

(iv) 由(iii)可知任意a(≠0)∈L,ab=ba=1,即任意非零元素都可逆,因此L成为一个体.

43. 令C[0,1]为全体定义在闭区间[0,1]上的连续函数组成的环.证明: (i) 对于的任一非平凡的理想I,一定有个实数,,使得f()=0对所有的f(x)∈I; (ii) 是一零因子当且仅当点集 {x∈[0,1]|f(x)=0} 包含一个开区间. 证明:

(i) 证明思路:设I为非零的非平凡理想,假设对任意x∈[0,1],存在f(x)∈I使得f(x)≠0,想法构造一个g∈I可逆.

(ii) 提示:用连续函数的局部保号性.

44. 令F=Z/pZ为p个元素的域.求 (i) 环Mn(F)的元素的个数; (ii) 群GLn(F)的元素的个数.

45. 设K是一体,a,b∈K,a,b不等于0,且ab≠1.证明华罗庚恒等式:

a-(a-1+(b-1-a)-1)-1=aba.

证明:

因为a-(a-1+(b-1-a)-1)-1=aba?1-(a-1+(b-1-a)-1)-1a-1=ab?(aa-1+a(b-1-a)-1)-1=1-ab? (1+a(b-1-a)-1)-1=1-ab?(1+((ab)-1-1)-1)-1=1-ab,为了方便记x=ab,那么1-x,x,x-1-1都可逆,只要证明(1+(x-1-1)-1)-1=1-x即可,或者证明1+(x-1-1)-1=(1-x)-1即可. 因为

1+(x-1-1)-1=1+(x-1-x-1x)-1=1+(1-x)-1x=(1-x)-1(1-x) +(1-x)-1x=(1-x)-1,

所以结论成立,即a-(a-1+(b-1-a)-1)-1=aba.

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