发布时间 : 星期一 文章[初中数学]2016年各地中考数学解析版试卷分类汇编（第2期）（42专题全套） 通用23更新完毕开始阅读
【分析】（1）根据轴对称的性质可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根据两边对应成比例，夹角相等两三角形相似证明；
（2）根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可；
（3）作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可． 【解答】证明：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F， ∴∠EAF=∠DAE，AD=AF， 又∵∠BAC=2∠DAE， ∴∠BAC=∠DAF， ∵AB=AC， ∴
=
，
∴△ADF∽△ABC；
（2）∵点D关于直线AE的对称点为F， ∴EF=DE，AF=AD， ∵α=45°，
∴∠BAD=90°﹣∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD， ∴∠BAD=∠CAF， 在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（SAS），
，
∴CF=BD，∠ACF=∠B， ∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°， 在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2， 所以，DE2=BD2+CE2；
（3）DE2=BD2+CE2还能成立．
理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF， 由轴对称的性质得，EF=DE，AF=AD， ∵α=45°，
∴∠BAD=90°﹣∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD， ∴∠BAD=∠CAF， 在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（SAS）， ∴CF=BD，∠ACF=∠B， ∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°， 在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2， 所以，DE2=BD2+CE2．
，
【点评】本题是相似形综合题，主要利用了轴对称的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此类题目，小题间的思路相同是解题的关键． 5. （2016·陕西）问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形． 问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=
米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、
AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）作B关于AC 的对称点D，连接AD，CD，△ACD即为所求；
（2）作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，得到此时四边形EFGH的周长最小，DE′=DE=2，∠A=90°AE′=8，EF=2根据轴对称的性质得到BF′=BF=AF=2，，于是得到AF′=6，求出E′F′=10，即可得到结论；
（3）根据余角的性质得到1=∠2，推出△AEF≌△BGF，根据全等三角形的性质得到AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x根据勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作△EFG关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，于是得到四边形EFGH′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）如图1，△ADC即为所求；
（2）存在，理由：作E关于CD的对称点E′，
作F关于BC的对称点F′，
连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH， 则F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小， 由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°， ∴AF′=6，AE′=8， ∴E′F′=10，EF=2
，
+10，
∴四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2∴在边BC、CD上分别存在点G、H， 使得四边形EFGH的周长最小， 最小值为2
（3）能裁得， 理由：∵EF=FG=∴∠1=∠2，
在△AEF与△BGF中，∴△AEF≌△BGF，
∴AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x， ∴x2+（3﹣x）2=（
，
+10；
，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，
），解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），
2
∴AF=BG=1，BF=AE=2， ∴DE=4，CG=5， 连接EG，
作△EFG关于EG的对称△EOG， 则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°， 以O为圆心，以EG为半径作⊙O， 则∠EHG=45°的点在⊙O上，
连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上， 连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，
此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的， ∴C在线段EG的垂直平分线设，