发布时间 : 星期日 文章2018年秋高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 第2课时 集合的表示学案 新人教更新完毕开始阅读
给哥哥发发发飒飒第2课时 集合的表示
学习目标：1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．一般形式为A＝{x∈I|p}，其中x叫做代表元素，I是代表元素x的取值范围，p是各元素的共同特征． 思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？ (2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？ [提示] (1)元素的共同特征为x∈R，且x<5. (2){x|x<5，x∈R}．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( ) (2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√
2．方程x＝4的解集用列举法表示为( ) A．{(－2,2)} C．{－2}
22
B．{－2,2} D．{2}
B [由x＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．] 3．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是( )
【导学号：37102022】
A．{x|y＝3x＋1} C．{(x，y)|y＝3x＋1}
B．{y|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}
C [该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，选C.] 4．不等式4x－5<7的解集为________．
{x|4x－5<7} [用描述法可表示为{x|4x－5<7}．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
用列举法表示集合
用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A. (2)小于8的质数组成的集合B.
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给哥哥发发发飒飒(3)方程2x－x－3＝0的实数根组成的集合C.
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
[解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}． (2)小于8的质数有2,3,5,7， 所以B＝{2,3,5,7}．
?3?32
(3)方程2x－x－3＝0的实数根为－1，.所以C＝?－1，?.
2?2???y＝x＋3，
(4)由?
?y＝－2x＋6，?
2
??x＝1，
得?
?y＝4.?
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)， 所以D＝{(1,4)}．
[规律方法] 用列举法表示集合的个步骤 求出集合的元素 把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次 用花括号括起来 提醒：二元方程组的解集，函数的图象点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“,”隔开.如 [跟踪训练]
1．用列举法表示下列集合：
??x＋y＝2，
(1)方程组?
?x－y＝0?
，，，－
的解集；
(2)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}.
【导学号：37102023】
??x＋y＝2，
[解] (1)由?
?x－y＝0，?
??x＝1，
解得?
?y＝1，?
故该方程组的解集为{(1,1)}． (2)因为x∈N，y∈N，x＋y＝3，
??x＝0，
所以?
?y＝3?
??x＝1，
或?
?y＝2?
??x＝2，
或?
?y＝1?
??x＝3，
或?
?y＝0.?
故A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}．
用描述法表示集合
用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的实数的集合；
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
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给哥哥发发发飒飒(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合． [解] (1){x∈R|1 (2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}． (3){x|x＝3n＋1，n∈N}． [规律方法] 描述法表示集合的个步骤 [跟踪训练] 2.用描述法表示下列集合： 图1-1-1 (1)函数y＝－2x＋x图象上的所有点组成的集合； (2)不等式2x－3<5的解组成的集合； (3)如图1-1-1中阴影部分的点(含边界)的集合； (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合. 【导学号：37102024】 [解] (1)函数y＝－2x＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x＋x}． (2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}． 31 (3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，xy≥0}． 22(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N}． 集合表示方法的综合应用 [探究问题] 1．下面三个集合： ①{x|y＝x＋1}；②{y|y＝x＋1}；③{(x，y)|y＝x＋1}． (1)它们各自的含义是什么？ (2)它们是不是相同的集合？ 提示：(1)集合①{x|y＝x＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x＋1}＝R； 2 2 2 2 2 2 * 2 2 2 - 3 - 给哥哥发发发飒飒集合②的代表元素是y，满足条件y＝x＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x＋1}＝{y|y≥1}； 集合③{(x，y)|y＝x＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x＋1，所以{(x，y)|y＝x＋1}＝{P|P是抛物线y＝x＋1上的点}． (2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合． 2．设集合A＝{x|ax＋x＋1＝0}． (1)构成集合A的元素是什么？ (2)方程ax＋x＋1＝0是关于x的一元二次方程吗，为什么？ 提示：(1)构成集合A的元素是方程ax＋x＋1＝0的根． (2)不一定．当a＝0时，方程是关于x的一元一次方程；当a≠0时，方程是关于x的一元二次方程． 集合A＝{x|kx－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合． 等价转化 思路探究：A中只有一个元素――→ 分类讨论方程kx－8x＋16＝0只有一解――→求实数k的值 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 [解] (1)当k＝0时，方程kx－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意； (2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}． 母题探究：1.(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”其他条件不变，求实数k的值组成的集合． [解] 由题意可知，方程kx－8x＋16＝0有两个不等实根． 故Δ＝64－64k>0，即k<1. 所以实数k组成的集合为{k|k<1}． 2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围． [解] 由题意可知，方程kx－8x＋16＝0至少有一个实数根． ①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，合题意； ②当k≠0时，要使方程kx－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≤0，即k≥1. 综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k＝0或k≥1}． [规律方法] 1.若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题. 2.在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想. - 4 - 2222 2 2