发布时间 : 星期五 文章量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析（胡丽红）更新完毕开始阅读
华东交通大学毕业设计（论文）
那是违背能量守恒定律的。
这种自发发射诱发拉比振荡的模型只涉及到一个单一的场模，因此并不是对任何的腔都是适用的。对某些腔，自发发射不会引起拉比振荡，而是指数衰减。一般来说，真空涨落式一个连续谱，各种频率都有可能引起原子的拉比振荡，但是低能级的概率振幅相互干涉的结果，引起指数衰减的结果。 3.2.3崩塌和复原
共振时的量子拉比频率?2gn?1表明，不同的光子数态有不同的量子拉比频率。下面考虑一个特殊的情况，一个开始处于激发态的原子和一个开始处于相干态的光场相互作用。
一个单模电磁场，略去零点能之后，系统的H量为
?a? H???a系统达到热平衡（温度为T）时，光子被激发到第n个激发态的概率为 Pn?exp(??En)exp(??n??) ?exp(??E)exp(??n??)??nnn?式中??1，而kB为波尔兹曼常数。经过求和可将上式变为
kBTPn?exp(??n??)[1?exp(????)]
此式代表了热光场中有n个光子的概率，也诚挚为光子“统计”。Pn随n的函数变化关系如下图（3-3）所示。这就是麦克斯韦-波尔兹曼分布。
图3-3 Pn随n变化的函数关系和泊松分布
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实线--Pn随n变化的函数关系，即麦克斯韦-波尔兹曼分布；虚线--泊松分布
?的本征态。满足： 相干态可以定义为光子湮灭算符a????? a?不是厄米算符，其本征值?一般是一个复数。而相干态在光子数态中的由于a表示式：
??e?|?|22?n?0??nn!n
由此式可见，相干态上的光子数目视没有限制的，可以从零至无穷。而相干态上的平均光子数为
????a??a???? n??n相干态|??上发现n个光子的概率是 Pn?n?22?e??2?2nn!?e?nnnn!
称这种概率分布为泊松（Poisson）分布。其曲线分布如上图中的虚线所示。曲线中心位于n??2之处，线宽度为?。激光器在远高于阈值工作时，其光子
分布就是泊松分布，因此是相干态的光子。
知道了在相干态?上发现n个光子的概率为Pn?e2??2?2nn!，又由式
2（3-45）可知，原子处于上能级的概率为Can(t)?cos(gn?1t)，把这两者相
乘，并对n求和，则给出一个原子处于激发态的概率（此概率与场的状态无关）： Pn??n?n2Can(t)?e2??2? co2s(gn?1t) （3-50）
n!?g ，上式则可以化简为
2n可以证明，对足够强的场合足够短的时间，即t?? Pn?11 ?cos(2?gt)exp(?g2t2) （3-51）
22因为此时场处于相干态，光子的个数并不完全确定，只能给出平均光子数和光子数涨落的概念。因此式（3-50）所描述的系统的拉比频率也不能精确写出，
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只能说其变化的范围是从R?g(n??n)到g(n??n)，式中的n和?n分别为相干态光场的平均光子数和光子数起伏。许多光子若以相同的位相作用于激发态原子，则产生加强的效果，否则其作用将相互抵消。平均数为n的光子以相同或大致相同的位相作用于原子的这段时间，称为解相时间，以上分析可知，其倒数为
?c?1??12?12??g(n??n)?g(n??n)?g （3-52）
21212是与平均光子数无关的（这里用到了关系式n?|?|，?n?|?|，?n?(n)）解相后，许多光子杂乱地作用到原子之上，拉比振荡也就消失，这称之为崩塌。因此这种情况下，原子处于激发态的概率是一个衰减的拉比振荡。由式（3-50）可以看出，振荡的包络是一高斯线型。这实际上是不同频率的拉比振荡相互干涉的结果。由式（3-51）可以看出，经过一小段时间（恢复时间）振荡又重新恢复，尽管振幅可能会减小。恢复时间为
?12?r?4?|?|g恢?4?（n）? （3-53）
拉比振荡的崩塌和恢复过程如图（3-4）：
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图3-4 一个单模量子场与原子相互作用产生的拉比震荡的崩塌与恢复
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恢复过程比崩塌过程更清楚的显示量子电动力学的特征，因为任何一个传播场都有可能使拉比振荡解相，但是恢复过程则完全是由于场的粒子性引起的，因此原子的变化过程是由一个个单个的场量子所确定的。但是恢复过程并非是完全的复原，随着时间的展开，高斯线型的包络越来越宽，最终重叠在一起，变成一准随机的过程。
相干态是在测不准关系所允许的情况下，最接近经典态的状态（对比光子数态，位相态而言），却定性地给出了与经典拉比振荡不同的结果。但是如在上节的结果中所见到的，完全是量子态的光子数态，与经典场却有很好的对应关系（拉比频率的对应?2gn?1~R0）。因为光子数态和经典态都有确定的强度，而引起崩塌的干涉效应中，不允许有确定的强度。光子数态的位相不确定性，对拉比振荡并不重要，因此在无衰减情况下，原子和场始终保持确定的位相关系。相反，尽管相干态的位相不确定为最小，但是其不确定的强度正是使原子-场的相对位相离散开去。
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