发布时间 : 星期三 文章量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析(胡丽红)更新完毕开始阅读
华东交通大学毕业设计（论文）
迁频率的差异???0-?，引起了两态的分裂，其间隔刚好是?。从式（3-13）或者式（3-27）可以看出，当R0（或者g）趋于零时，两个本征值相差为?。当原子吸收光子，从b,n?1跃迁至a,n态时，两态在互作用H量影响下，发生耦合，耦合矩阵元为
a,nVb,n?1?gn?1 （3-38） 耦合后的产生新的态对1,n，2,n，其间隔由式（3-30）与式（3-31）可得 E1n?E2n??Rn （3-39） （E1n在E2n之上）1,n，2,n即为缀饰态。
不同态对之间的间隔为光场的频率?，因为?，gn?1???，所以不同态对之间的耦合可以忽略（相当于旋转波近似）。
3.2 光与原子的相互作用J-C模型
双能级原子和一个单模量子光场的耦合，在旋转波近似下，就是J-C模型。在这一节中，利用缀饰原子方法，精确求解这一过程。将会看到一些与经典光场完全不同的结果。 3.2.1 量子拉比振荡
缀饰态式双能级原子与单模辐射场耦合系统的本征态，即式（3-27）的本征态。可以利用缀饰态找出系统态矢与时间的函数关系。由薛定谔方程得：
?t ?(t)?exp(?iH)?(0) （3-40）?和由闭合性定理，可以在此式中插入由缀饰态构成的单位算符
?iEt ?(t)???exp(jn?)jnjn?(0) （3-41）
n?0j?1?2?应作用于jn，由式（3-30）和式（3-31）给出。在商界已经指出，不式中H同的态对之间没有耦合，因此上式对任何一个态对组成的二维子空间都成立。根据式（3-41）可以写出互作用表象中，缀饰态的概率振幅由时间的展开式（消去Ejn中的共同部分）为
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1??exp(iRt)0n??C2n(0)??C2n(t)??2 （3-42） ????C(t)???1?1n??0exp(?iRnt)??C1n(0)?2??类似于式（3-19），式（3-33）和式（3-34）也给出一个转换矩阵T：
?cos?nT???sin?n??sin?n? cos?n??利用变换THnT?1可将式（3-27）对角化。T可以将裸原子态变换为缀饰原子态 ?2n??T?an?
?C1n(t)??Cbn(t)??C(t)??C(t)?Can(t)，Cb(n?1)(t)和C2n，C1n各为态矢用裸原子态和缀饰原子态展开的系数。 用此法将系统从缀饰态还原到裸原子态：
1??exp(iRt)0nC(t)?an??Can(0)? （3-43）??Can(0)??1?2 ?T?T??M??C????1C(0)?b(n?1)(t)??Cb(n?1)(0)??0exp(?iRnt)??b(n?1)?2??式中
RntRnt??cos?isin?2Rn2M????2ign?1R?1sinRntn?2??2ign?1R?1nsinRnt?2? （3-44） ?RntRnt??cos?isin2Rn2??此式和式（3-16）相似，只是将R0换成了?2gn?1。对于原子开始处于上能级的共振情况，取??0，原子处于上下能级的概率为
|Can(t)|2?cos2(gn?1t) （3-45）
22 |Cb(n?1)(t)|?sin(gn?1t) （3-46）
原子在?n?{a,n，b,n?1}内的上下能级间来回做拉比振荡。单光子情况下n?1；
22取常数g?1；根据公式Rn???4g(n?1)有Rn?22；取了这些条件后，用软
件matlab画图我们可以得到以下的图像：
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图3-1激发态下概率—时间关系
图3-2激发态下概率—时间关系
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与待定系数法求解时相同的方法分析：由于我们设定了原子初始状态是处于激发态，所以在t?0的情况下，图3-1的纵坐标（处于改状态下的概率）为1，图3-2的纵坐标为0。受到光子的作用，原子逐渐从激发态下降至基态，根据初始设定的数据，图中显示大约是在t?1处，原子处于基态，所以图3-1中此处的纵坐标为0，图3-2中此处纵坐标为1。受到光子的激发，原子又向激发态跃迁，形成往复循环。
类似于上节，也可以用半经典方法，写出Can(t)和Cb(n?1)(t)的运动方程，得到完全类似的结果，只是用R0代换?2gn?1。
由此可见无论是缀饰原子方法，还是裸原子方法（半经典方法）都可以导出拉比振荡的结果。这两种方法经过变换是相互沟通的。两种方法各自有其优点，缀饰原子方法简单明了，可以直接求出系统的本征值和本征矢。裸原子方法在处理有原子衰减的情况比较方便，缀饰原子方法在对角化H量时，碰到衰减就很麻烦，因此用来处理可以忽略衰减的情况。 3.2.2 单模自发发射
尽管用半经典理论和全量子理论都可以处理拉比振荡问题，但其间的一个重要差别在于，在全量子理论中，若初始时刻原子处于激发态，即使在没有光场的情况下，也可以发生拉比振荡。而这在半经典理论中，则不会发生。这是因为在量子理论中的共振拉比频率?2gn?1，即使无光场(n?0)时，也不会消失。而半经典理论中的拉比频率为R0?pE0，当E0?0时，R0?0。
? 正如我们以前介绍过的，真空态时场的方均根偏差并不为零：
?E?[E2?E]2 （3-47） 式中
E?E00(a?a)0?0 （3-48） E22 ?E00(a?a)0?E0 （3-49）
2???2???21式中E0为一个光子的电场。这就是真空涨落，它作用到一个处于激发态的原子，于是原子发射光子，这就是自发发射。真空场中的弱拉比振荡是自发发射引起的。如果原子开始处于基态，就不会发生拉比振荡，因为不可能有自发吸收，
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