发布时间 : 星期三 文章量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析（胡丽红）更新完毕开始阅读
华东交通大学毕业设计（论文）
Cb(t)?Ca(0)cos11 Rt?BsinRt （3-15）
22式中A，B为待定常数。将此式代回方程组之中，得
11Rt?RAcosRt22
11?i[R0Cb(0)??Ca(0)]cosRt?i[R0B??A]sinRt22?RCa(0)sin11Rt?RBcosRt22
11?i[R0Cb(0)??Cb(0)]cosRt?i[R0A??B]sinRt22?RCb(0)sin令t?0，可求得A和B。
RA?i[R0Cb(0)??Ca(0)] ? A?i[R0Cb(0)??Ca(0)]
RRB?i[R0Ca(0)??Cb(0)] ? B?i[R0Ca(0)??Cb(0)] R最后以矩阵形式写出通解为
Rti?Rt?cos?sin?Ca(t)??2R2?C(t)???RRt?b??i0sinR2?R0Rt?sin??Ca(0)? （3-16） R2???Rti?RtC(0)cos?sin??b?2R2?i从此式看出，原子在上能级（或下能级）的概率既和上能级的初态有关，又和下能级的初态有关。
由线性代数理论，可以通过基矢变换的方法，将式（3-13）中的矩阵对角化。为此，利用式（3-14）给的本征值，求其相应的本征矢量。对应-R的本征矢量为
?u1??v???1?1(R??)2?R02??R0???sin?? ?R?????cos?? （3-17）
????对应R的本征矢量为
?R????cos???u2?1????sin?? （3-18）?v?2?R2??2?(R??)?R0?0??将本征矢量按行列式排列起来，就得到了基矢变换的转换矩阵：
?cos?sin?? （3-19） U?????sin?cos??在此变换矩阵的作用下，基矢从原来的Ca(t)和Cb(t)变至C2(t)和C1(t)，即有
21
胡丽红 量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析
?Ca(t)??cos??C2(t)??U?C(t)????sin??C(t)??1??b???cos?Ca(t)?sin?Cb(t)??????sin?Ca(t)?cosCb(t)?sin???Ca(t)???cos????Cb(t)? （3-20）
由概率振幅C2和C1所代表的态，称为“缀饰原子态”或简称“缀饰态”。而变换之前，由Ca和Cb所代表的态，称为“裸原子态”。变换矩阵U使得式（3-13）中的矩阵变为对角矩阵： U?式中用到了关系式：
R sin cos2???? （3-22） 2??0 ，
RR???R0??1?R0?U?? （3-21） ???0?R??R0??缀饰态的概率振幅满足的运动方程为： 3.1.3 缀饰原子态
下面将用全量子理论重新讨论缀饰态的问题。我们知道在单模辐射场中的双能级原子的总H量为：
1???????????(a????a??)(????_) Ha?)?i?g(a02dC2(t)1?iRC2(t) dt2dC1(t)1??iRC 1(t) （3-23）dt2为使表示更对称化，一般讲原子能级的能量原点选在两能级的中点。这样一来，
11上能级的能量为??0，而下能级的能量为-??0。原子部分的H量变为
22 Ha??10?1?00?11? ??0???????0?z???0S0?z??0001222??????1?，所用到的矩阵是用2*2阶矩阵表示双能级原子态算符和跃迁式中Szz2算符的一种很直观的方式。原子态可以表示成列矢量：
??? 2?? 1??0??1?
????10跃迁算符为
22
华东交通大学毕业设计（论文）
??01??00? S?21??S?12?????00??10?????泡利矩阵中 ?x?? ??y?10??i???01?10?0?i? ??z?0?1? 0????泡利自旋转向算符为
???1(?x?i?y)???201??00?1? ??(??i?)?xy???2?10??00?比较可见：
???? ????? ， S S在单模辐射场中的双能级原子的总H量可进一步表示为：
1???1??????(a????a??)(????_) Ha?)?i?g(a0z22?和S??，S?。双能级原子在电磁场泡利算符??，??和?z分别对应了跃迁算符Sz中的H量有时用泡利算符表示，有时也可用跃迁算符表示。经过旋转波近似之后，可以写成：
???????a??a??H??V????S????a??g(S?aS) （3-24） H 00z不包括互作用的H量满足如下的本征方程：
?|a,n???(1??n?)|a,n? H002?|b,n???(?1??n?)|b,n? （3-25） H 002?将原子-这里同样也是把原子能量的零点选在上下能级的中间。互作用H量V场态a,n和b,n?1耦合在一起，即原子从上能级跃迁至下能级，并发射出一个光子；相反，原子吸收一个光子，并从激发到上能级。但是不能耦合a,n和。于是可以只在一系列的b,n?1这样的态（因为他们已经被旋转波近似略去）
态对?n?{a,n，b,n?1}中去，独立地考查原子-场的互相作用，并可以将H写成
???H? （3-26） Hnn??只作用在式中Hn?n之上，而与其他的?n(n''?n)没有关系。在以
?可以写成矩阵的形式为 {a,n，b,n?1}为基的二维空间中，Hn23
胡丽红 量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析
1?10????2gn?1??H???(n?)? n ? （3-27）?2?012?2gn?1??????式中用到了关系式：
??b,n?1?n?1a,n （3-28）?S a
?a,n?n?1b,n?1 （3-29）??S a
式（3-27）中的第二个矩阵与式（3-13）中矩阵有相似的形式，只是式（3-13）中的R0被?2gn?1所代替（注意式（3-13）中，按薛定谔方程，左方应乘以i?，所以右方有一负号），并且各元素都改变了符号。于是也可将此矩阵对角化，并求得本征值，本征向量，在式中将共振拉比频率R0用?2gn?1代换。缀饰态的本征值为
1111 E2n??(n?)???Rn??[?0?n??(Rn??)] （3-30）
22221111 E1n??(n?)???Rn??[??0?(n?1)??(Rn??)] （3-31）
2222式中Rn是量子化的拉比频率：
Rn?[??4g(n?1)]2 （3-32） 本征矢量为
2,n?cos?na,n?sin?nb,n?1 （3-33） 1,n?sin?na,n?cos?nb,n?1 （3-34）
式中
cos?n?Rn??[(Rn??)?4g(n?1)]2gn?1[(Rn??)?4g(n?1)]2212221221 （3-35）
2sin?n? （3-36）
同时有
cos2?n???2gn?1 ， sin （3-37） 2?n?RnRn从以上的分析可知，在态对?n?{a,n，b,n?1}内，由于光场频率和原子跃
24