发布时间 : 星期六 文章量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析（胡丽红）更新完毕开始阅读
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第三章 用矩阵法计算J-C模型的态函数随时间演化规
律
3.1 光与原子的相互作用-缀饰原子态
处于辐射场中的双能级原子，与辐射场不断的交换能量。原子从场中吸收能量，从低能级激发到上能级；或是从上能级跃迁至下能级并放出能量。在这个过程中，原子和场的本身并没有发生变化。但在强光场下，情况有所不同，这时原子自身的特性，如能级等会发生变化，这时用微扰方法处理这样的问题就不合适了。这里介绍缀饰原子（dressed atom）法，将提供一种处理原子与场强耦合的数学方法。这种方法实际上是在凝聚态物理中常用的准粒子方法，即将原子和围绕它的场当作一个统一的客体看待，或把“裸粒子”所受到的场的作用混合到缀饰原子的质量中去。用缀饰原子法可以方便的理解许多物理现象，如兰姆移动和共振起伏等。开始先以简单的半经典模型给出缀饰原子的概念，然后再用全量子理论加以讨论。 3.1.1 光场中原子的波函数
一个孤立的双能级原子，其波函数为
????i?at?i?bt ?(r,t)?Ca(t)eua(r)?Cb(t)eub(r) （3-1）
若将此原子至于一个频率为?的光场中，光与原子的互作用为
Vab??1pE0e?i?t （3-2）
2在光场作用下，原子波函数可能会发生变化，设其为
??? ?(r,t)?Ca(t)exp[i(???a)t]ua(r)?Cb(t)exp[i(????b)t]ub(r) （3-3） 光场的影响归结为e指数因子exp(?i?)。考虑到Vab?Vba 所以此因子也是共轭
???(t)，得到一组系数方程： 的。将此波函数代入薛定谔方程i?d?(t)?HidtdCauaei(???a)t?i(???a)Cauaei(???a)tdt ?dCbube?i(???b)t?i(???b)Cbube?i(???b)t] （3-4）
dt?(H0?V)(Cauaei(???a)t?Cbube?i(???b)t)i?[式中H0和V分别是原子和互作用H量。用ua?左乘上式的两边，对全空间积分，即
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i?{?ua[dCauaei(???a)td??i(???a)Cauaei(???a)t]dt?dCb?ua[ube?i(???b)t?i(???b)Cbube?i(???b)t]d?}
dt???uaH0uaCaei(???a)td???uaVuaCaei(???a)td???u?aH0ubCbe?i(???b)td???u?aVubCbe?i(???b)td???并利用ua和ub的归一化性和正交性，即?ua?uad??1，?uaubd??0 另外由于H0???a，?ua?Vub?Vab；可得
i?[dCai(???a)te?i(???a)Caei(???a)t] （3-5） dt??Ca?aei(???a)t-CbVabe?i(???b)t)?将式（3-2）代入式（3-5）中，得到
dCapE0?i(2???0??)ti （3-6） ??i?Ca?Cbedt?2式中的e指数因子应为1，所以
1?? （3-7） 2?-?0???0 ??（?0??）
22其中?0??b??a，而?是光场的频率；方程（3-6）化为
dCai（3-8） ?(??Ca?R.0Cb)
dt2?式中R.0为共轭拉比频率|R0|?pE0?。类似的方法，用ub左乘（3-4）式的两边，再对全空间积分，得
dCb?i(???b)ti?[e?i(???b)Cbe?i(???b)t]dt ?CaVabei(???a)t??Cb?be?i(???b)t将（3-2）式代入上式中，经计算可求得 将???2dCbi ?(R0Ca??Cb) （3-9）
dt2代回（3-3）式中，可得到在光场作用下的原子波函数为
? ?(r,t)?Ca(t)exp[i(??a)t]ua(r)?Cb(t)exp[?i(??b)t]ub(r) （3-10）
?2??2?18
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3.1.2 互作用哈密顿量的对角化
现在看方程（3-8）和（3-9）的一个特解。在共振情况（??0）时，此方程组变为
dCai?R.0Cb dt2dCbi ?R0Ca （3-11）
dt2若开始时原子处于低能态 Cb(0)?1，Ca(0)?0则求其特解过程为：将（3-11）式中的上面那个方程式代入下面的方程式得到
dCaddCai ()?R0dtdt2dtRd2?2Ca?0Ca?0
4dt2解该微分方程得到Ca?C1cosR0Rt?C2sin0t；C1,C2为设定的系数，由初始条件22R0t，将其代入（3-11）式中上面的方程得2Ca(0)?0得C1?0，则有Ca?C2sinR0RRiC2cos0t?R0Cb即C2cos0t?iCb并且考虑另外一个初始条件Cb(0)?1，所2222以可以推得C2?i，由此过程可推得方程组（3-11）的特解为 Ca(t)?isin Cb(t)?cos1R0t 21（3-12） R0t
2由此可知，原子处于下能级的概率为：
|Cb(t)|2?cos21(1?cosR0t) R0t?22处于上能级的概率为
|Ca(t)|2?sin21(1?cosR0t) R0t?22原子波函数在上下能级之间，以频率R0作正弦振荡。换言之，原子处于上下能级的概率是来回振荡的。这时原子与场之间维持确定的相位关系。 下面求解方程组的一般解。可将方程组写入统一的矩阵方程内，即有
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d?Ca(t)?i?????2?RC(t)dt??b??0R0??Ca(t)? （3-13） ??????Cb(t)?此方程的本征值是根据线性代数中特征值的计算方法，设此方程的本征值（即线性代数中所称的特征值）为R，则有： |C?RE|?0
其中C是（3-13）式中的矩阵，E是一个单位矩阵，上式可得
???RR0R0??R?(???R)(??R)?R0?0
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?R??(?2?R02) （3-14）
12R就是普遍的拉比频率。接下来我们就来求（3-13）式的通解：
对R1?(?2?R0)，将该值代入方程(R1E?C)x?0中求得其基础向量为：
??2?R2???0? P1??R0????1??2对R2??(??R0)，将该值代入方程(R1E?C)x?0中求得其基础向量为：
2212? P2???????2?R02???R01? ???取P?(P1,P2)，令X?PY，则原方程组（3-13）可化为
2?2 dY?(P?1CP)Y????R0??0??Y 2??2?R0??0 ?dy1?dt ?2?R2y1 （3-13a）
dy2 ???2?R2y2 （3-13b）
dt对（3-13a）（,3-13b）两式都是只需简单运用高数微分方程就可解出，式中的y1，
y2只是简单的数学符号，代表方程组（3-13）中的Ca(t)，Cb(t)。于是可求得式（3-13）的通解为
Ca(t)?Ca(0)cos11Rt?AsinRt 2220