发布时间 : 星期三 文章量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析(胡丽红)更新完毕开始阅读
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引 言
Jaynes-Cummings(J-C)模型是由E．T．Jaynes和F．W．Cummings于1963年提出来的，是由单个二能级原子（或分子）与一个单模量子化光场组成的相互作用系统，反映的是单原子和单模辐射场之间的相互作用的两能级量子力学模型。它基于偶极近似和旋转波近似，着重处理电磁场与原子的近共振作用。J-C模型形式简单，是个精确可解的量子系统，并蕴含了丰富的物理内涵，能广泛的应用到许多领域中去，是量子光学、激光物理、核磁共振等问题中常用的一种模型。所以一直备受人们的青睐，得到物理学界相关领域科研工作者的广泛注重，而且J-C模型也是人们了解比较深入的为数不多物理模型之一。
根据(多模)辐射场和原子相互作用的经典理论，将经典的辐射场和原子相互作用的哈密顿量量子化以致所有的物理变量都被著作算符以后，再忽略会导致双光子跃迁的相互作用项，进一步将辐射场量子化(称作二次量子化)并在偶极近似和旋转波近似的情况下得到狄克(Dicke)模型。Jaynes—Cummings(J-C)模型实际上就是狄克(Dicke)模型的一种特殊情形。它是在将辐射场和原子均量子化的基础上得到的关于辐射场和原子相互作用的最简单量子理论模型。
本文主要通过两种不同的方法：待定系数法和矩阵法对Jaynes-Cummings模型的态演化进行理论计算。主要考虑在共振情况下，我们求得态函数系数平方的变化图。通过在光场初始态处于真空态或相干态不同情况下时，系统会呈现出来不同的量子特征如：真空拉比震荡、崩塌与复原现象。为了进一步完善光场与原子相互作用的量子理论，本文还介绍了几种推广的Jaynes-Cummings模型，如：双光子Jaynes-Cummings模型、?型三能级原子与光场Raman相互作用、V型三能级原子与光场Raman相互作用等等。
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胡丽红 量子力学中的Jaynes-Cummings模型态演化分析
第一章 Jaynes-Cummings模型
1.1 J-C模型的相关介绍
众所周知，光的量子学说最初是由A．Einstein于1905年在研究光电效应现象时提出来的，爱因斯坦本人则是因为研究外光电效应现象并从理论上对其做出了正确的量子解释而获得了诺贝尔物理学奖；这是量子光学发展史上的第一个重大转折性历史事件，同时也是量子光学发展史上的第一个诺贝尔物理学奖。光量子学说的提出最终导致了量子光学的建立，并在接下来的时间里迅猛发展，但有关光的量子理论的研究最明显的特征就是还未形成完整的理论体系。真正将量子光学的理论研究工作引上正轨并推向深入的，是E．T．Jaynes和F．W．Cummings两人。1963年，E.T.Jaynes和F.W.Cummings两人提出了表征单模光场与单个理想二能级原子单光子相互作用的Jaynes-Cummings模型(以下简称标准J-C模型)，这标志着量子光学的正式诞生。此后，人们围绕着标准J-C模型及其各种推广形式做了大量的而且是富有成效的理论与实验研究工作。 1.1.1 标准J-C模型的物理内涵，重要性和局限性
其物理内涵为：这个模型的建立，标志着量子光学的正式诞生。 其重要性体现于它的科学价值和技术价值：第一，标准J-C模型的建立，既标志着量子光学领域的理论研究工作步入正轨，使得人们关于场-原子之间相互作用的理论研究工作一下子深入到了物质结构的深层次，同时又促进量子光学领域的理论研究向纵深发展。虽然，在当今量子光学领域中标准J-C模型只是一个很简单的模型，但它在整个量子光学的建立与发展过程中所起到的历史性转折作用却是毋须置疑的。这就是标准J-C模型的科学价值。第二，随着微波激射技术的发展，随着单原子微波激射器的研制成，人们目前已经能够在微波腔中产生并制备各种非经典光场态，并利用单原子微波激射器来研究场-原子相互作用过程中场及原子的各种动力学特性、各种线性和非线性效应的物理机制，以及各种经典和非经典效应的物理本质等。尤为重要的是，利用单原子微波激射器还可以在微波腔内再现标准J-C模型的各种物理属性等。因此，从这个意义上讲，单原子微波激射器实质上就是标准J-C模型的物化和技术再现。可见，标准J-C模型不只体现在理论上，而且还体现在实物原型上，它是科学
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与技术的完美结合体。这就是标准J-C模型的技术价值。
然而标准J-C模型也具有一定的局限性：由于标准J-C模型过于简单，故不足以描述整个量子光学领域中场-物质(原子、分子或离子)之间的各种相互作用问题。其局限性主要表现在以下5个方面：①标准J-C模型只考虑了单模光场情形，而对于双模及多模光场未进行任何探讨；②标准J-C模型只考虑了单个理想二能级原子情形，而对于两个及多个二能级原子以及两个及多个多能级原子的情形未进行任何探讨；③标准J-C模型只考虑了场—原子之间的单光子相互作用，而对于简并双光子和简并多光子相互作用的情形未进行任何探讨；④标准J-C模型是一个线性相互作用模型，而对于场—原子之间以及原子—原子之间的各种非线性交叉耦合相互作用未进行任何探讨；⑤标准J-C模型是在旋转波近似下获得的，而对于未作旋转波近似时虚光场(即在系统的Hamiltonian中违背能量守恒定律的项)的影响等未进行任何探讨。这就是标准J-C模型的理论缺限和不足之处。
1.1.2 标准J-C模型的线性与非线性推广
非旋转波近似下的J-C模型，其特点在于在原标准J-C模型的基础上，进一步考虑单模虚光场(即Hamiltonian中违背能量守恒定律的项)的影响，于是便得到了非旋转波近似下的J-C模型。这一工作主要是由M.D.Crisp于1991年完成的。简并双光子与简并多光子J-C模型，这主要是针对单模光场与单个理想二能级原子之间的简并双光子与简并多光子相互作用而言的。由于忽略了光场强度对场—原子之间相互作用的影响因而在旋转波近似下，人们便得到了表征单模光场与单个理想二能级原子相互作用的所谓简并双光子J-C模型和简并多光子J-C模型。缀饰多光子J-C模型：其基本思想是采用规范缀饰变换技术，通过对上述的简并多光子J-C模型施行规范缀饰变换操作，即可获得表征单模光场与单个理想二能级原子缀饰相互作用的简并多光子J-C模型。这一模型的重要性在于，人们利用它可进一步研究场—原子作为强耦合关联体的各种量子统计性质以及各种动力学特性等。单、双模光场—单个三能级及多能级原子系统的J-C模型由于以上J-C模型中将原子作为理想二能级原子考虑，故不足以描述场—原子相互作用过程中的所有物理属性，于是人们便进行了各种各样的推广与扩展。人们曾经提出过单模光场与单个三能级原子相互作用的各种J-C
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模型，甚至提出了单模光场与单个多能级原子相互作用的J-C模型，并且将其推广和扩展到了双模光场及多光子的情形，这对量子光学领域的理论研究工作无疑具有重要的推动作用。但上述所有这些研究，只是讨论了场—原子相互作用与光强无关的情形，而对于光强相关耦合作用的影响未进行任何探讨。事实上，进一步研究光强相关耦合作用所引起的各种非线性复杂性效应不仅具有重要的学术价值，而且还具有更为广泛的实际意义。因此，有必要对标准J-C模型进行非线性推广。标准J-C模型的非线性推广有如任意依赖强度耦合的J-C模型,Kerr介质中的J-C模型等等，因本论文篇幅有限，具体内容在此就不详细讲解，读者可参阅其它有关量子光学J-C模型的书籍及文献。
1.2 J-C模型的基本原理
根据经典理论，一个原子(如氢原子)处在电磁场(即辐射场)中时，那么在描述该原子与电磁场相互作用对整个体系的哈密顿量可以写成：
??2?1? H?（1-1） [P?eA(r,t)]?V(r)?HR?HA?HR?Hl
2m???其中P是质量为m，电荷为e的电子的动量，r是坐标矢量。V(r)是原子体
??系的势能，A(r,t)是电磁场的矢势。根据（1-1）式，可以看出哈密顿量H分解成三部分：①原子的哈密顿量HAHR?????2?(D?E?H?B)dV1?2?P??V(r)；②自由辐射场的哈密顿量2m???（其中D是电位移矢量，E是电场强度，B是磁感应强
?度，H是磁场强度）；③原子与辐射场的相互作用哈密顿量
???e???1??2[P?A(r,t)?A(r,t)?P]?[eA(r,t)] Hl??（1-2） 2m2m以上为经典理论的形式。在将经典理论过渡到量子理论时，根据量力学的
??,在坐标基本原理，物理学量都要被看成算符，例如经典动量P换成动量算符p?即为?i??(其中?是梯度算符)。 表象中p由于J-C模型是一种将辐射场也量子化的理论。所以我们还要进一步将辐
????射场量子化，也就是将失势A(r,t)量子化。（失势A(r,t)的量子化过程可以参
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