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西城区2019届高三一模数学(理)试题和答案(官方版)
18．（本小题满分13分）
设函数f(x)?mex?x2?3，其中m?R．
（Ⅰ）当f(x)为偶函数时，求函数h(x)?xf(x)的极值；
（Ⅱ）若函数f(x)在区间[?2,4]上有两个零点，求m的取值范围．
19．（本小题满分14分）
x2y2已知椭圆W:??1的长轴长为4，左、右顶点分别为A,B，经过点P(n,0)的直线
4mm
与椭圆W相交于不同的两点C,D（不与点A,B重合）.
（Ⅰ）当n?0，且直线CD?x轴时， 求四边形ACBD的面积；
（Ⅱ）设n?1，直线CB与直线x?4相交于点M，求证：A,D,M三点共线.
20．（本小题满分13分）
如图，设A是由n?n(n≥2)个实数组成的n行n列的数表，其中aij(i,j?1,2,L,n)表示位于第i行第j列的实数，且aij?{1,?1}.
a11 a21 Ma12 a22 M an2 LLLL a1n a2n M ann an1 定义pst?as1at1?as2at2?L?asnatn(s,t?1,2,L,n)为第s行与第t行的积. 若对于任意s,t（s1t），都有pst?0，则称数表A为完美数表.
（Ⅰ）当n?2时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；
（Ⅰ）设A为n行n列的完美数表，且对于任意的i?1,2,L,l和j?1,2,L,k，都有aij?1，证
明：kl≤n.
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数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．
2n?1?12
10．3
11． π；a≥2
412．3
o??20o13．答案不唯一，如??110，
14．32
注：第11题第一问3分，第二问2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）
222解：（Ⅰ）当m?3时，由题可知 a?c?b?3ac，
222由余弦定理b?a?c?2accosB， ……………… 3分
a2?c2?b23cosB??2ac2． ……………… 4分 得
这与cosB?[?1,1]矛盾，
所以m不可能等于3 . ……………… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得
cosB?m12π??B?22，所以3. ……………… 7分
222 因为b?27，c?4，a?c?b??ac， 2 所以a?16?28??4a，
解得a??6（舍）或a?2. ……………… 9分
ab? 在△ABC中，由正弦定理sinAsinB， ……………… 11分
sinA? 得
asinB2321???b14. ………… 13分 2726 / 13数学（理科） 第6页（共13页）
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16．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，知AB//CD， 又因为AB?平面CDE，CD?平面CDE，
所以AB//平面CDE. ……………… 2分 同理AF//平面CDE， 又因为ABIAF?A，
所以平面ABF//平面CDE. ……………… 3分 又因为BF?平面ABF，
所以BF//平面CDE. ……………… 4分 （Ⅱ）连接BD,
因为平面ADEF?平面ABCD，平面ADEFI平面ABCD?AD，DE?AD， 所以DE?平面ABCD. 则DE?DB.
又因为DE?AD，AD?BE，DEIBE?E， 所以AD?平面BDE，则AD?BD.
故DA,DB,DE两两垂直，所以以DA,DB,DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如
图建立空间直角坐标系， ……………… 6分
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(?1,1,0)，E(0,0,2)，F(1,0,1)，
uuuruuurBE?(0,?1,2)EF?(1,0,?1)，n?(0,1,0)为平面DEF的一个法向量. 所以,
设平面BEF的一个法向量为m?(x,y,z)，
z E ??y?2z?0,uuuruuur?x?z?0,m?BE?0m?EF?0 由，，得?
令z?1，得m?(1,2,1). ………………8分 F cos?m,n?? 所以
m?n6?|m||n|3.
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如图可得二面角B?EF?D为锐角，
6 所以二面角B?EF?D的余弦值为3. ………………10分
（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q，使得平面CDQ?平面BEF. ………………11分 证明如下： 设
uuuruuurBQ??BE?(0,??,2?)(??[0,1])，
.
所以
uuuruuuruuurDQ?DB?BQ?(0,1??,2?)设平面CDQ的法向量为u?(a,b,c)，又因为
uuurDC?(?1,1,0)，
?(1??)b?2?c?0,uuuruuur??a?b?0,u?DQ?0所以，u?DC?0，即? ……………… 12分
若平面CDQ?平面BEF，则m?u?0，即a?2b?c?0， ……………… 13分
解得
???[0,1]17.
BQ1?QCDQ?BE7. …… 14分 BEBEF所以线段上存在点，使得平面平面，且此时
17．（本小题满分13分）
1?2?6?8?10?11?12?12?17?21?1010解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为，
乙
组
10
名
学
生
阅
读
量
的
平
均
值
为
1?2?4?4?12?13?16?16?(10?a)?2098?a?1010.
……………… 2分
由题意，得
分
10?98?a10，即a?2. ……………… 3
故图中a的取值为0或1. ……………… 4
分
（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人.
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