发布时间 : 星期日 文章福建省级普通高中学业水平合格性考试数学学科考试考试说明更新完毕开始阅读
?0.5,1?,?1,1.5?,?1.5,2?,?2,2.5?,?2.5,3?内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15．
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%． 依题意，w至少定为3．
（Ⅱ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水量费用的数据分组与频率分布表： 组号 分组 频率 1 2 3 4 5 6 7 8 ?2,4? 0.1 ?4,6? 0.15 ?6,8? 0.2 ?8,10? ?10,12? ?12,17? ?17,22? ?22,27? 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为： ． 4?0.1?6?0.15?8?0.2?10?0.25?12?0.15?17?0.05?22?0.05?27?0.05?10.5（元）
【说明】本题以阶梯水费收费为载体设计实际应用性问题，考查统计与概率的相关知识，考查数据处理能力、识图能力、运算求解能力，考查应用意识．
解决问题时，考生要懂得频率分布直方图中每个小矩形的面积代表频率，从而根据频率分布直方图求得用水量不超过2立方米时，频率是0.45，用水量不超过3立方米时，频率是
0.85，从而确定合理的分界线．最后依据用样本估计总体的思想，通过计算样本的人均水
费用以估计全市的人均水费．本题的解决对识图能力要求较高，所以考生常出现的错误是无法读懂题意，或计算出错．
本题综合考查统计与概率的相关知识，涉及频率分布直方图、以频率分布直方图估计均值、用样本估计总体，属于理解层次，是中档题．
【例33】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：
3 y 2.5 （Ⅰ）请画出上表数据的散点图； x 4 3 5 4 6 4.5 $?a$；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y?bx
（Ⅲ）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
$?参考公式：b??x?y??nx?yiii?1n?xi2?nxi?1n2$?y?bx$．,a
【解】（Ⅰ）根据以上数据，作出散点图 （Ⅱ）由已知可得，x?4.5,y?3.5， $?由系数公式可知，b66.5?4?4.5?3.566.5?63$?3.5?0.7?4.5?0.35， ??0.7，a286?4?4.55第 29 页
所以线性回归方程为y?0.7x?0.35．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x?100时，y?0.7?100?0.35?70.35，90?70.35?19.65， 所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．
【说明】本题以某厂节能降耗技术改造为载体，考查线性回归知识，考查数据处理能力、应用意识，考查统计与概率思想．
考生要解决该题，需要具备一定的数据处理能力，能根据题意正确作出散点图，并能由图象直观判断两变量符合线性相关关系，进而利用公式求得线性回归方程，最后由方程作出预测．本题主要错误有：一是审题不过关，无法正确作出图象；二是计算出错或不能根据求得的直线方程做出预测．
本题要求考生了解两变量间的线性相关关系的相关概念及其回归分析，属于了解层次，是容易题．
【例
34】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别记为a,b,c，且
2cos?B?C??1?4sinBsinC．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a?27，△ABC的面积23，求b?c． 【解】（Ⅰ）由2cos?B?C??1?4sinBsinC得，
2?cosBcosC?sinBsinC??4sinBsinC?1，即2?cosBcosC?sinBsinC??1， 即2cos?B?C??1，所以cos?B?C??因为0?B?C?π，所以B?C?又因为A?B?C?π，所以A?（Ⅱ）由（Ⅰ）得A?π， 31． 22π． 32π12π．由S?23得，bcsin?23，bc?8．① 323由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA，得272??2?b2?c2?2bccos2π， 3即b2?c2?bc?28．所以?b?c??bc?28．② 将①代入②得，?b?c??8?28，所以b?c?6．
【说明】本题以解三角形为载体，综合考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等相关知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．
解决问题时，对于第（Ⅰ）问，要求角A，应该从已知B,C两角的恒等式
22cos?B?C??1?4sinBsinC入手，注意到该恒等式左边有两角差的余弦值，应该用三角恒等变换将它化为B,C的三角函数值运算，通过左右两边式子的对比，容易想到移项重组，
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得到B,C两角和的余弦，从而求出角B?C，当然其补角A也就可以求出了；解决第（Ⅱ）问时，要求b?c的值，可以采用整体求解思想，这往往与b2?c2,bc的值有关．已知面积的值与第（Ⅰ）所求角A的值可容易算出bc的值，因此关于角A的余弦定理式子a2?b2?c2?2bccosA中， 应将b2?c2转化为?b?c??2bc，从而式子变成关于b?c的方
2程，容易求解．本题常见的错误是，第（Ⅰ）问中，两角差的余弦公式记错，求不出角A的值；第（Ⅱ）问中，没有整体求解意识，试图分别求b,c的值，造成计算量过大，求解错误．
本题要求考生理解三角恒等变换公式、正余弦定理、三角形面积公式，能够利用它们建构条件与结论之间的桥梁，要有整体求解意识，属于理解层次，是稍难题．
【例35】△ABC中，D是BC上的点，AD平分?BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
（Ⅰ）求
sinB； sinC（Ⅱ）若AD?1，DC?2，求BD和AC的长． 211AB?ADsin?BAD，S△ADC?AC?ADsin?CAD，且22【解】（Ⅰ）由于S△ABD?S△ABD?2S△ADC，?BAD??CAD，
所以AB?2AC．
在△ABC中，由正弦定理可得
sinBAC1??． sinCAB2（Ⅱ）因为S△ABD:S△ADC?BD:DC，所以BD?2． 在△ABD和△ADC中，由余弦定理得，
由于?ADB??ADC?π，从而cos?ADB??cos?ADC； 由①+2
②得，AB2?2AC2?3AD2?BD2?2DC2?6．
由（Ⅰ）知AB?2AC，所以AC?1．
【说明】本题以解三角形为载体，考查正弦定理、余弦定理、角平分线、三角形面积公式等相关知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
解决问题时，对于第（Ⅰ）问，要求角的正弦比，所给条件中有面积比，可以从此处入手，注意到角平分线的使用，在两个三角形面积公式中就选取等分的两角表示，外加公共边，得到另一对边的比值，通过正弦定理的转化，恰好过渡到所求角的正弦比．第（Ⅱ）问中，将已知面积比的两个三角形视为等高不同底，容易求出底的比，再由DC长容易求出BD的长．更进一步，分析两个三角形中cos?ADB和cos?ADC互为相反数的特点，结合已知条件，利用余弦定理列方程可以求出AC长．本题常见的错误是不能找到不同三角形之间公共要素， 建立联系的桥梁，导致解题没有思路．
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本题要求考生理解正余弦定理、角平分线、三角形面积公式等知识，能够利用它们建构条件与结论之间桥梁，并会在多个三角形之间寻找沟通的渠道，属于理解层次，是稍难题．
【例36】已知数列?an?的前n项和Sn?1??an，其中??0． （Ⅰ）证明?an?是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若S5?31，求?． 321，故a1?0． 1??【解】（Ⅰ）由题意得a1?S1?1??a1，故??1，a1?由Sn?1??an，Sn?1?1??an?1得an?1??an?1??an， 即an?1(??1)??an．
由a1?0，??0得an?0，所以因此?an?是首项为
an?1?． ?an??11?，公比为的等比数列， 1????1n?11???于是an???1?????1?．
n???（Ⅱ）由（Ⅰ）及Sn?1??an得Sn?1???．
??1??3131???由S5?得，1??，解得???1． ????13232??5【说明】本题以等比数列为载体，考查等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及数列前n项和与通项之间关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．
对于第（Ⅰ）问，根据前n项和与通项之间关系，首先算出n=1时首项a1，并说明它非零；再算出n…1时，an?1与an的比值，结果是一个非零常数，从而就证明了数列?an?是等比数列，根据公式，容易求出通项公式．对于第（Ⅱ）问，已知S5，求?，通过等比数列前n项和公式，结合方程思想，容易求出?的值．解决本题易出现的错误主要有三：一是在第（Ⅰ）问中，未注意到数列前n项和与通项之间关系要分两种情况讨论，导致a1求解错误，或者解答不严谨；二是代数运算能力较弱，无法完成相应的代数运算；三是第（Ⅱ）问中，等比数列前n项和公式记错，导致结论错误．
本题需综合考虑等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及数列前n项和与通项之间关系，属于掌握层次，是中档题．
【例37】记Sn为等比数列?an?的前n项和，已知S2?2,S3??6． （Ⅰ）求?an?的通项公式；
（Ⅱ）求Sn，并判断Sn?1,Sn,Sn?2是否成等差数列．
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