发布时间 : 星期六 文章福建省级普通高中学业水平合格性考试数学学科考试考试说明更新完毕开始阅读
奇函数性质，用特殊点求出a值后没有进行检验；对于第（Ⅲ）问，很多学生可能因为无法正确理解题意而找不到解决问题的办法．
本题涉及函数的单调性和奇偶性等有关性质，涉及函数与方程思想、化归与转化思想，要求有一定的推理论证能力、运算求解能力，属于掌握层次，是稍难题．
【例28】某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆车需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，问当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
【解】设每辆车的月租金为x元，则未租出的车有x?3000?x?3000?辆，租出的车有?100??辆．又设租赁公
5050??AD司的月收益为y元，依题意可得：
所以，当x?4050时，y取最大值307050．
即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益
BFCA1最大，最大月收益为307050元．
GD1【说明】本题以某汽车租赁公司的汽车租赁收益为载体
B1EC1设计应用性问题，考查数学建模、代数式恒等变形、二次函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想．
解决问题时，首先必须通过对题文的阅读理解，正确把握问题的含义，将实际问题转化为数学问题，建立合理的数学模型，再通过对数学问题的解答解决相应的实际问题．即根据题意建立租赁公司的月收益y(元)关于每辆车的月租金x(元)的二次函数模型．从而把实际问题转化为求该二次函数在x…3000的最大值的数学问题，进而对得到的函数解析式进行化简，得到y??12?x?4050??307050，最后根据二次函数取得最值的条件，求得函数的50最值．解决本题的主要障碍是数学建模及运算问题，常见的错误是无法正确建模，或者计算出错．
本题综合考查二次函数、数学建模等知识，涉及代数式的恒等变形，计算量也较大，属于掌握层次，是稍难题．
【例29】如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别是B1C1,AD1,D1E的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面AA1E；
（Ⅱ）求直线FG与平面A1B1C1D1所成的角的正切值．
【解】（Ⅰ）证明：因为F为AD1的中点，且G为D1E的中点，所以FG为△AED1的中位线，所以FG∥AE．
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又因为FG?平面AA1E，AE?平面AA1E， 所以FG∥平面AA1E．
（Ⅱ）取A1D1的中点H，连接FH,HG． 因为FH为△A1D1A的中位线，所以FH∥AA1． 又因为AA1?平面A1B1C1D1，所以FH?平面A1B1C1D1， 所以?FGH为直线FG与平面A1B1C1D1所成的角． 在直角△A1B1E中，A1E?AB?B1E?5． 因为GH为△A1ED1的中位线，所以GH=又因为FH=A1E5． ?222112ADBFCA1HGD1B1EC1AA125?1，所以在直角△FGH中，tan?FGH?， 25故直线FG与平面A1B1C1D1所成的角的正切值为25． 5【说明】本题以正方体为载体，考查空间直线与平面的位置关系以及空间直线与平面所成角等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想．
对于第（Ⅰ）问，由三角形中位线定理得到线线平行，直接利用直线与平面平行的判定定理即可证明；对于第（Ⅱ）问，只需利用直线与平面所成的角的定义作出直线FG与平面A1B1C1D1所成的角，再计算其正切值即可．本题经常出现的错误主要是：第（Ⅱ）问无法作
出直线FG与平面A1B1C1D1所成的角．
本题涉及直线与平面平行的判定定理，直线与平面所成的角等知识，涉及化归与转化思想，要求有一定的推理论证能力、运算求解能力，属于理解层次，是中档题．
【例30】如图，已知四棱锥P?ABCD的底面ABCD是菱形，?BAD?60?，PA?PD，O为AD边的中点，点M在线段PC上．
PM（Ⅰ）证明：平面POB?平面PAD；
（Ⅱ）若AB?23,PA?7,PB?13，PA∥平面MOB，求四棱锥M?BODC的体积．
【解】（Ⅰ）连接BD，因为底面ABCD是菱形，?BAD?60?，
PMCOADB所以△ABD是正三角形，所以AD?BO． 因为O为AD的中点，PA?PD， 所以AD?PO，且POIBO?O，
AODNC所以AD?平面POB，
又AD?平面PAD，所以平面POB?平面PAD．
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（Ⅱ）连接AC，交OB于点N，连接MN，
因为PA∥平面MOB，PA?平面PAC，平面PACI平面MOB?MN，所以PA∥MN， 因为AO∥BC，所以
ANAO111??，所以AN?AC，故PM?PC， CNCB233因为AB?23，PA?PD?7，所以OB?3，OP?2，
又PB?13，所以OB2?OP2?PB2，所以?POB?90?，即OP?OB， 又AD?PO，且OBIAD?O，所以OP?平面BODC．
1224由PM?PC知CM?CP，故点M到平面BODC的距离为PO?，
333393331因为SBODC?SABCD??2??(23)2?sin60??，
24421934所以四棱锥M?BODC的体积为???23．
323【说明】本题以四棱锥为载体，考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系以及空间几何体的体积等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力和运算求解能力，考查化归与转化思想．
对于第（Ⅰ）问，可以根据平面与平面垂直的性质定理找到证题方向，即证明AD?平面POB，再利用菱形及等腰三角形的性质得到AD?BO和AD?PO，进而得到AD?平面POB，从而平面POB?平面PAD；对于第（Ⅱ）问，先利用PA∥平面MOB，得到
PA∥MN，再根据线段的长度得到垂直关系，可以证明OP?平面BODC，进而求出点M到
平面BODC的距离为PO?2341934??23．本题经，得到四棱锥M?BODC的体积为?3323常出现的错误主要是：第（Ⅰ）问无法将证明平面POB?平面PAD转化为证明AD?平面POB；第（Ⅱ）问无法利用线面平行的性质定理得到PA∥MN，导致求不出点M到平面BODC的距离，从而无法求出四棱锥M?BODC的体积．
本题涉及直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，直线与平面平行的性质定理及空间几何体的体积等知识，涉及化归与转化思想，要求有一定的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于理解层次，是稍难题．
【例31】在平面直角坐标系xOy中，圆C:x2?y2?8y?0，过点P?2,2?的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M．
（Ⅰ）求M的轨迹方程；
（Ⅱ）当|OP|?|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
【解】（Ⅰ）圆C的方程可化为x??y?4??16，所以圆心为C(0,4)，半径为4．
uuuuruuuruuuuruuur设M(x,y)，则CM?(x,y?4)，MP?(2?x,2?y)，由平面几何知识可知CM?MP?0，
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故x?2?x???y?4??2?y??0，即?x?1???y?3??2．
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是?x?1???y?3??2 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．
由于OP?OM，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON?PM． 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为?，直线l的方程为：y??x?．
381?191313832222所以点O到l的距离为d??410， 5又OM?OP?22，所以PM?2OP?d2?28?所以△POM的面积为
16． 52160410， ?255【说明】本题以直线与圆为载体，考查圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想． uuuuruuur对于第（Ⅰ）问，只要根据CM?MP，并转化为CM?MP?0，代入点的坐标并化简后便可得M的轨迹方程；对于第（Ⅱ）问，先根据OP?OM得到O在线段PM的垂直平分线上，结合P在圆N上，ON?PM可求得直线l的方程为：y??x?，进而求出?POM的面积为
16．本题经常出现的错误主要是：第（Ⅰ）问，无法找到点M满足的几何条件，不51383能将几何条件转化为代数关系或计算能力不足导致化简错误；第（Ⅱ）问，不能将|OP|?|OM|转化为O在线段PM的垂直平分线上，不能根据P在圆N上得到ON?PM，求不出直线l的方程，从而无法求出△POM的面积．
本题涉及弦中点的轨迹、圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，涉及数形结合思想、函数与方程思想，要求有一定的运算求解能力，属于理解层次，是稍难题．
【例32】某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w?3时，估计该市居民该月的人均水费．
【解】（Ⅰ）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间
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