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高中物理竞赛力学教程 第五讲 机械振动和机械波
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5．3．2、阻尼振动
简谐振动过程的机械能是守恒的，这类振动一旦开始，就永不停止，是一种理想状态。实际上由于摩擦等阻力不可完全避免，在没有外来动力的条件下，振动总会逐渐减弱以致最后停息。这种振幅逐渐减小的振动，称为阻尼振动。阻尼振动不是谐振动。
①振动模型与运动规律
如图5-3-2所示，为考虑阻尼影响的振动模型，c为阻尼器，粘性阻尼时，阻力R=-cv，设m运动在任一x位置，由?F?m?x有
2分为 ax?2nvx?wx?0 （17）
m?x??kx?cvx
式中
这里参考图方法不再适用，当 C 较小时，用微分方程可求出振体的运动规律，如图4-22所示。
②阻尼对振动的影响
由图5-3-3可见，阻尼使振幅逐渐衰减，直至为零。同时也伴随着振动系统的机械能逐渐衰减为零。
n?c2m
xc?n2m此外，愈大，即阻尼愈大，振幅衰减愈快。而增大
质量m可使n减小。所以，为了减小阻尼，单摆的重球及弹簧
振子往往选用重球。
③常量阻力下的振动
例1、如图5-3-4所示，倔强系数为250g/cm的弹簧一端固定，另端连结一质量为30g的物块，置于水平面上，摩擦系数
ot图5-3-3
??14，现将弹簧拉长1cm后静止释放。试求：（1）物块获得
k1cm x 的最大速度；（2）物块经过弹簧原长位置几次后才停止运动。 解：振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量力，并不断耗散系统的机械能，故不能像重力作用下那样，化图5-3-4 为谐振动处理。
（1）设首次回程中，物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的x位置时，达最大速度
。
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1mg?4?0.03(cm)x??k250g由 kx?mg?，
30g?再由能量守恒：
12112kx0?mg?(1?0.03)?k?0.032?mvmax22 2
代入已知数据得
?，则 （2）设物体第一次回程中，弹簧的最大压缩量为x11212??mg?(x0?x1?)kx0?kx12 2 2mg????x0?x1k
再设物体第一次返回中，弹簧的最大拉伸量为x1，则
vmax?485(cm/s)
1212??kx1?mg?(x1??x1)kx122
2mg???x1??x1k
可见振体每经过一次弹簧原长位置，振幅减小是相同的，且均为
2mg??k2?30?1000?1?16?0.04(cm)?0.06cm而 3/50
故物体经过16次弹簧原长位置后，停止在该处右方。
5．3．3 受迫振动——在周期性策动外力作用下的振动。 例如：扬声器的发声，机器及电机的运转引起的振动。 1、振动模型及运动规律
如图5-3-5所示，为策动外力作用下的振动模型。其中，阻力R=-cv，为常见的粘性阻尼力。
策动力F=Hcospt，为简谐力时。 由?F回?max，有max?Hcospt?cvx?kx化为标准标式
14?3(cm)250?100050
o?x?2nvx??x?hcospt
2xcc??n?2m，式中
kHh?m，m
R图5-3-5
F?HcosptM高中物理竞赛力学教程 第五讲 机械振动和机械波
xxxot?ot?ot瞬态振动静态振动受迫振动（a ） （b） （c）
图5-3-6
由微分方程理论可求得振子的运动规律
（2）受迫振动的特性
在阻尼力较小的条件下，简谐策动力引起的振动规律如图5-3-6所示。在这个受迫振动过程由两部分组成：一部分是按阻尼系统本身的固有频率所作的衰减振动，称为瞬态振动（图（a））；另一部分按策动力频率所作的稳定振动（图（b））。在实际问题中，瞬态振动很快消失，稳态振动显得更加重要。稳态振动的频率与系统本身的固有频率无关，其振幅与初位相也不由初始条件确定，而与策动频率p密切相关。
5．3．4、共振—当策动力频率p接近于系统的固有频率?时受迫振动振幅出现最大值的现象。 c0?0如图5-3-7所示的一组曲线，描述了不同阻尼系统的稳态振幅A随策动力频率p改变而引起的变化规律。由图
A可见：
c1?c2?c31、当p接近?时振幅最大，出现共振。
c1c2、阻尼越小，共振越大。 23、p?0时，振幅就是静力偏移，即
A0c3HOk
4、p>>?时，振体由于惯性，来不及改变运动，处于A0?静止状态。
?P 图5-3-7
§5.4 振动的合成
若一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用，在一般情况下其中一个力的存在不会对另外一个力产生影响，这时物体的振动就是它在各个策动力单独作用下产生的振动相互叠加后的振动，由各策动力单独产生的振动来求它们叠加后的振动，叫振动的合成。
5. 4．1、 同方向、同频率两简谐运动的合成
当一个物体同时参与同方向的两个振动时，它在某一时刻的位移应为同一时刻两个振动的位移的代数和。当两振动的频率相同时，设此两振动的位移分别为
x1?A1cos(?t??1)
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x2?A2cos(?t??2)
则合振动的位移应为
x?x1?x2
?A1cos(?t??1)?A2cos(?t??2)
?A1cos?tcos?1?A1sin?tsin?1?A2cos?tcos?2?A2sin?tsin?2 ?(A1cos?1?A2cos?2)cos?t?(A1sin?1?A2sin?2)sin?t ?Acos?cos?t?Asin?sin?t
?t??) ?Acos(上式中
A?(A1cos?1?A2cos?2)2?(A1sin?1?A2sin?2)2
22?A?2AAcos(???)?A112212
Asin?1?A2sin?2tg??1A1cos?1?A2cos?2
根据以上结论，进一步可以看到 ①若?2??1?0或2k?（k为整数），则
cos(?2??1)?1
即合振动的振幅达到最大值，此时合振动的初位相与分振动的初位相同（或相差2k?） ②若?2??1??或(2k?1)? 则
2A?A12?2A1A2?A2?A1?A2
cos(?2??1)??1
2A?A12?2A1A2?A2?A1?A2
即合振动的振幅达到最小值。此时合振动的初位相取决于A1和A2的大小。即当A1?A2时，合振动的初位相等于?1(?1?2k?)；当A2?A1时，合振动的初位相等于?2(或?2?2k?)；当A2?A1时，则A=0，物体不会发生振动。
③一般情况下，?2??1可以任意值，合振动的振幅A的取值范围为
A1?A2≥A≥A1?A2
5. 4．2、 同方向、频率相近的两振动的合成 设物体同时参与两个不同频率的简谐运动，例如
为简单起见，我们已设?2??1?0，这只要适当地选取时间零点，是可以做到的。如果再设A1?A2?A，则合振动
x1?A1cos?1t x2?A2cos?2t