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y2
(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x－8＝1的右焦点，P是C
2
的左支上一点，A(0，66)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________.
解析 (1)从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角11三角形PAC的面积SRt△PAC＝2|PA|·|AC|＝2|PA|越来越
大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S
四边形
PACB
变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即
CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值， |3×1＋4×1＋8|此时|PC|＝＝3， 223＋4从而|PA|＝|PC|2－|AC|2＝22.
1
所以(S四边形PACB)min＝2×2×|PA|×|AC|＝22.
(2)设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，根据双曲线的定义可知|PF|＝2＋|PF1|，则△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋2＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋2，
由于|AF|＋2是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|＋|PF1|最小，即P，A，F1三点共线，如图所示. 由于A(0，66)，F1(－3，0)， xy
直线AF1的方程为：＋＝1，
－366y
即x＝－3，
26
代入双曲线方程整理可得
y2＋66y－96＝0，解得y＝26或y＝－86(舍去)，
所以点P的纵坐标为26.
11
所以S△APF＝S△AFF1－S△PFF1＝2×6×66－2×6×26＝126. 答案 (1)22 (2)126
探究提高 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位臵关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论.
1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想. 2.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.
3.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.
4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.
5.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的.
6.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精
确图象.
一、选择题
1.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于( ) A.3或－3 C.－33或3
B.－3或33 D.－33或33
解析 圆的方程(x－1)2＋y2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径|3＋m|?＝3?|3＋m|＝23?m＝3或m＝－33.
3＋1答案 C
2.已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是( ) A.5 C.9
B.7 D.10
解析 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数. 又f(x)＝lg x，则x∈(0，10]，画出两函数图象， 则交点个数即为解的个数. 由图象可知共9个交点.
答案 C
3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( ) A.(－1，1) C.(－∞，－1)
B.(－1，＋∞) D.(－∞，＋∞)
解析 f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x， 得F(x)在R上是增函数.
又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)＞2x＋4， 即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1. 答案 B
4.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( ) A.2 C.3
B.22 D.2
→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则CA→＝a－c，CB→解析 如图，设OA→⊥CB→， ＝b－c.由题意知CA∴O，A，C，B四点共圆.
→|＝2. ∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC答案 A
1
5.当0＜x≤2时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
?2?A.?0，?
2??
?2?
B.?，1? ?2?
C.(1，2) D.(2，2)
解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象求解. 1
∵0＜x≤2，∴1＜4x≤2，∴logax＞4x＞1， ∴0＜a＜1，排除答案C，D；
11111
取a＝2，x＝2，则有42＝2，log22＝1， 显然4x＜logax不成立，排除答案A；故选B. 答案 B