发布时间 : 星期五 文章2020届中考数学基础题提分讲练专题22 以特殊的平行四边形为背景的证明与计算(含解析)更新完毕开始阅读
∵△CDF与△CGF分别以CD、CG为底时，高相等 ∴
SVCDFCD4?? SVCGFCG5∴S△CDF＝
41424S△CGF＝??3?4＝ 5552
（3）如图2，过点C作CH⊥DP于点H，连接CP， ∵CD∥AB
∴∠CDP＝∠APD，且∠A＝∠CHD＝90° ∴△ADP∽△HCD ∴
CDCHDH?＝， DPADAP∵CH≤CF，CF＝BC＝AD＝3 ∴CH≤3
∴当点H与点F重合时，
CH最大，DH最小，AP最小，BP最大， 此时，在△ADP与△HCD
??APD??CDP????A??CHD?90 ?AD?CH?∴△ADP≌△HCD（AAS） ∴CD＝DP＝4，AP＝DF ∵AP＝DP2?AD2＝7 ∴BP的最大值为4﹣7．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质．
3．（2019·江苏初二期末）如图1，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点M．
（1）直接写出AM= ；
（2）P是射线AM上的一点，Q是AP的中点，设PQ=x． ①AP= ，AQ= ；
②以PQ为对角线作正方形，设所作正方形与△ABD公共部分的面积为S，用含x的代数式表示S，并写出相应的x的取值范围．(直接写出，不需要写过程)
【答案】（1）22；（2）①2x，x；②S??x2?22x(0＜x≤22)． 【解析】
解：（1）∵正方形ABCD的边长为4， ∴对角线AC?又∴AM?2AB2?42，
1AC?22． 2故答案为：22．
（2）①Q是AP的中点，设PQ=x， ∴AP=2PQ=2x，AQ=x． 故答案为：2x；x． ②如图：
∵以PQ为对角线作正方形， ∴∠GQM=∠FQM=45°
∵正方形ABCD对角线AC、BD交于点M， ∴∠FMQ=∠GMQ=90°，
∴△FMQ和△GMQ均为等腰直角三角形， ∴FM=QM=MG．
∵QM=AM﹣AQ=22?x， ∴S?11FG?QM??222?xx， 22??∴S??x2?22x，
??x＞0∵依题意得：?，
??22?x＞0∴0＜x≤22，
综上所述：S??x2?22x(0＜x≤22)， 【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．解答本题要充分利用等腰直角三角形性质解答．
4．（2019·江苏初二期末）（1）如图1，已知正方形ABCD，点M和N分别是边BC，CD上的点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，将图（1）中的△APB绕着点B逆时针旋转90o，得到△A′P′B，延长A′P′交AP于点E，试判断四边形BPEP′的形状，并说明理由．
【答案】（1）AM⊥BN，证明见解析；（2）四边形BPEP′是正方形，理由见解析. 【解析】
（1）AM⊥BN
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90° ∵BM=CN，
∴△ABM≌△BCN ∴∠BAM=∠CBN ∵∠CBN+∠ABN=90°， ∴∠ABN+∠BAM=90°， ∴∠APB=90° ∴AM⊥BN．
（2）四边形BPEP′是正方形. △A′P′B是△APB绕着点B逆时针旋转90o所得， ∴BP= BP′,∠P′BP=90o.
又由（1）结论可知∠APB=∠A′P′B=90°， ∴∠BP′E=90°.
所以四边形BPEP′是矩形.
又因为BP= BP′,所以四边形BPEP′是正方形. 【点睛】
此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知正方形的性质与判定.
5．（2020·山东初三期末）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．