发布时间 : 星期二 文章2020届中考数学基础题提分讲练专题22 以特殊的平行四边形为背景的证明与计算(含解析)更新完毕开始阅读
∴BG垂直平分CE，
∴∠ECG+∠BCG＝90°，∵∠GBC+∠ECB＝90°， ∴∠ECD＝∠GCB， ∴tan∠GBC＝tan∠ECD＝
1， 3CG1＝， BC31∴CG＝BC＝2，
3∴
∵CD＝6，
∴DG＝CD﹣CG＝4，设AN＝EN＝y，则DN＝6﹣y， 在Rt△DNG中，（6﹣y）2+42＝（2+y）2， 解得：y＝3，
∴AN＝NE＝3，DN＝3，NG＝5， ∴S△NED＝【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 考点集训
1．（2020·陕西初三期中）问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB=63，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图②)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，可得∠AP′B＝ °，所以∠BPC＝∠AP′B＝ °，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为 ，问题得到解决．
（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝ °，∠BPC＝∠AP′B＝ °，等边三角形ABC的边长为 ．
（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝5，PB＝2，PC＝1.求∠BPC
33118?S△DNG＝××3×4＝． 5525
的度数和正方形ABCD的边长．
【答案】（1）∠AP′B＝150°，∠BPC＝∠AP′B＝150°，等边三角形ABC的边长为7；（2）∠BPC＝135°，正方形ABCD的边长为5. 【解析】
（1）∵等边△ABC， ∴∠ABC=60°，
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△ABP′，
∴AP′=CP=1，BP′=BP=3，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC， ∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， ∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°， ∴△BPP′是等边三角形， ∴PP′=3，∠BP′P=60°， ∵AP′=1，AP=2， ∴AP′2+PP′2=AP2， ∴∠AP′P=90°，
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M， ∴∠MP′B=30°，BM=
3， 2由勾股定理得：P′M=∴AM=1+
3， 235=， 22由勾股定理得：AB=AM2?BM2=7，
故答案为：150°，7．
（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，
与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=2，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC， ∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°， ∴∠BEP=
1（180°-90°）=45°， 2由勾股定理得：EP=2， ∵AE=1，AP=5，EP=2， ∴AE2+PE2=AP2， ∴∠AEP=90°，
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，
过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F； ∴∠FEB=45°， ∴FE=BF=1， ∴AF=2；
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=5； ∴∠BPC=135°，正方形边长为5．
答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是5． 【点睛】
本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的 直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．
2．（2019·云南初三月考）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是边AB上一点，将△CBE沿直线CE对
折，得到△CFE，连接DF．
（1）当D、E、F三点共线时，证明：DE＝CD； （2）当BE＝1时，求△CDF的面积；
（3）若射线DF交线段AB于点P，求BP的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）【解析】
24；（3）4﹣7 5证明：（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD， ∴∠DCE＝∠CEB ∵△CBE翻折得到△CFE ∴∠FEC＝∠CEB ∴∠DCE＝∠FEC ∴DE＝CD
（2）如图1，延长EF交CD的延长线于点G， ∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD， ∴∠DCE＝∠CEB ∵△CBE翻折得到△CFE
∴∠FEC＝CEB，CF＝BC＝3，EF＝BE＝1，∠CFE＝90° ∴∠DCE＝∠FEC，∠CFG＝90° ∴CG＝EG，
∴GF＝GE﹣EF＝CG﹣1
∵在Rt△CGF中，CG2＝CF2+GF2， ∴CG2＝9+（CG﹣1）2， 解得：CG＝5