发布时间 : 星期三 文章高中物理竞赛讲义-磁场典型例题解析更新完毕开始阅读
磁场典型例题解析
一、磁场与安培力的计算
【例题1】两根无限长的平行直导线a、b相距40cm，通过电流的大小都是3.0A，方向相反。试求位于两根导线之间且在两导线所在平面内的、与a导线相距10cm的P点的磁感强度。
【解说】这是一个关于毕萨定律的简单应用。解题过程从略。
【答案】大小为8.0×10?6T ，方向在图9-9中垂直纸面向外。
【例题2】半径为R ，通有电流I的圆形线圈，放在磁感强度大小为B 、
方向垂直线圈平面的匀强磁场中，求由于安培力而引起的线圈内张力。
【解说】本题有两种解法。
方法一：隔离一小段弧，对应圆心角θ ，则弧长L = θR 。因为θ → 0（在图9-10中，为了说明问题，θ被夸大了），弧形导体可视为直导体，其受到的安培力F = BIL ，其两端受到的张力设为T ，则T的合力
ΣT = 2Tsin?
2 再根据平衡方程和极限
limsinxx?0x= 0 ，即可求解
T 。
方法二：隔离线圈的一半，根据弯曲导体求安培力的定式和平衡方程即可求解…
【答案】BIR 。 〖说明〗如果安培力不是背离圆心而是指向圆心，内张力的方向也随之反向，但大小不会变。
〖学员思考〗如果圆环的电流是由于环上的带正电物质顺时针旋转而成（磁场仍然是进去的），且已知单位长度的电量为λ、环的角速度ω、环的总质量为M ，其它条件不变，再求环的内张力。
〖提示〗此时环的张力由两部分引起：①安培力，②离心力。 前者的计算上面已经得出（此处I = 2?R?? = ω
2?/?λR），T1 = BωλR2 ； 后者的计算必须应用图9-10的思想，只是F变成．．了离心力，方程 2T2 sin? =
2M?2R2??2?Mω2R ，即T2 =
。
〖答〗BωλR2 + M?2R 。
2?【例题3】如图9-11所示，半径为R的圆形线圈共N匝，处在方向竖直的、磁感强度为B的匀强磁场中，线圈可绕其水平直径（绝缘）轴OO′转动。一个质量为m的重物挂在线圈下部，当线圈通以恒定电流I后，求其静止时线圈平面和磁场方向的夹角。
【解说】这是一个应用安培力矩定式的简单问题，解题过程从略。
【答案】arctg?NBIR 。
mg二、带电粒子在匀强磁场中的运动
【例题4】电子质量为m 、电量为q ，以初速度v0
垂直磁场进入磁感强度为B的匀强磁场中。某时刻，电子第一次通过图9-12所示的P点，θ为已知量，试求：
（1）电子从O到P经历的时间； （2）O→P过程洛仑兹力的冲量。
【解说】圆周运动的基本计算。解题过程从略。
值得注意的是，洛仑兹力不是恒力，故冲量不能通过定义式去求，而应根据动量定理求解。
【答案】（1）2m? ；（2）2mv0sinθ 。
eB 【例题5】如图9-13所示，S是粒子源，只能在纸面上的360°范围内发射速率相同、质量为m 、电量为q的电子。MN是一块足够大的挡板，与S相距OS= L 。它们处在磁感强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，试求：
（1）要电子能到达挡板，其发射速度至少应为多大？
（2）若发射速率为eBL，则电子击打在挡板上的范
m围怎样？
【解说】第一问甚简，电子能击打到挡板的临界情形是轨迹与挡板相切，此时 rmin = L ；
2在第二问中，先求得r = L ，在考查各种方向的初速所对应的轨迹与挡板相交的“最远”点。值得注意的是，O点上方的最远点和下方的最远点并不是相对O点对称的。
【答案】（1）eBL ；（2）从图中O点上方距O点3L
2m 处到O点下方距O点L处的范围内。
【例题6】如图9-14甲所示，由加速电压为U的电子枪发射出的电子沿x方向射入匀强磁场，要使电子经过x下方距O为L且∠xOP = θ的P点，试讨论磁感应强度B的大小和方向的取值情况。
【解说】以一般情形论：电子初速度v0与磁感应强度B成任意夹角α ，电子应做螺旋运动，半径为r = mv0sin?，螺距为d = 2?mv0cos?，它们都由α 、
eBeBB决定（v0 =
2mUe是固定不变的）。我们总可以找到适当的半径与螺距，使P点
的位置满足L 、θ的要求。电子运动轨迹的三维展示如图9-14乙所示。
如果P点处于（乙图中）螺线轨迹的P1位置，则α = θ ，B∥OP ；如果P点处于P2或P3位置，则α ≠ θ ，B与OP成一般夹角。
对于前一种情形，求解并不难——只要解L = kd（其中k = 1，2，3，…）
方程即可；而对后一种情形，要求出B的通解就难了，这里不做讨论。
此外，还有一种特解，那就是当B⊥OP时，这时的解法和【例题4】就完全重合了。
【答案】通解不定。当B∥OP时，B =2k?cos?L2mUe（其中k = 1，2，3，…）；
当B⊥OP时，B =2sin?L2mUe。
〖问题存疑〗两个特解能不能统一？ 三、带电粒子在电磁复合场中的运动
一般考虑两种典型的复合情形：B和E平行，B和E垂直。 对于前一种情形，如果v0和B（E）成θ角，可以将v0分解为v0τ和v0n ，则在n方向粒子做匀速圆周运动，在τ方向粒子做匀加速运动。所以，粒子的合运动是螺距递增（或递减）的螺线运动。
对于后一种情形（垂直复合场），难度较大，必须起用动力学工具和能量（动量）工具共同求解。一般结论是，当v0和B垂直而和E成一般夹角时，粒子的轨迹是摆线（的周期性衔接）。
【例题7】在三维直角坐标中，沿+z方向有磁
感强度为B的匀强磁场，沿?z方向有电场强度为E的匀强电场。在原点O有一质量为m 、电量为?q的粒子（不计重力）以正x方向、大小为v的初速度发射。试求粒子再过z轴的坐标与时间。
【解说】过程甚简，粒子运动情形见图9-15。
【答案】z = 2?2k2mE ，t = 2?km 。（其中k = 1，2，3，…）
qB2qB
【例题8】在相互垂直的匀强电、磁场中，E、B值已知，一个质量为m 、电量为+q的带电微粒（重力不计）无初速地释放，试定量寻求该粒子的运动规律。
【解说】在相互垂直的电、磁场中，粒子受力的情形非常复杂，用运动的分解与合成的手段也有相当的困难，必须用到一些特殊的处理方法。
鉴于粒子只能在垂直B的平面内运动，可以在该平面内建立如图9-16所示的直角坐标。在这个坐标中，从以下四个角度考查粒子运动的定量规律——
（1）电场方向的最大位移Y 能量关系 qEY =1mv2 ① P2在x方向上用动量定理，有
fx?t = mvP ②
且③
fx= qB
vy （注意 vy?t = Y）
解①②③式可得 Y = 2mE
qB2（2）轨迹顶点P的曲率半径r
在P点有动力学关系 qvPB ? qE = mv2P ，而vP在第（1）
r 问中已经求得。可解出：
r = 4mE
qB2（3）垂直电场方向的“漂移”速度v
x针对O→P过程，y方向有动力学关系 ΣF= ma
yy即 qE ? f= ma ，即 qE ? qBv= ma 。而 a= vP?vO= 0
yyxyyt所以 v= E
xB