发布时间 : 星期日 文章高中数学(112余弦定理)示范教案新人教A版更新完毕开始阅读
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.
接下来,我们通过例题来进一步体会一下. ［例题剖析］
【例1】在△ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
解：根据余弦定理，
a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82,所以A≈41 cm. 由正弦定理得sinC=
csinA34?sin41?34?0.656≈≈0.544 0, ?41a41因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用计数器可得C≈33°,
B=180°-A-C=180°-41°-33°=106°.
【例2】在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形. 解：由余弦定理的推论,得
b2?c2?a287.82?161.72?134.62?cosA=≈0.554 3,A≈56°20′;
2bc2?87.8?161.7c2?a2?b2134.62?161.72?87.82?cosB=≈0.839 8,B≈32°53′;
2ca2?134.6?161.7C =180°-(A+B)=180°-(56°20′+32°53′)=90°47′.
[知识拓展]
补充例题：
【例1】在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.(精确到1°)
分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二.
b2?c2?a2102?62?72??0.725, 解：∵cosA?2bc2?10?6∴A≈44°.
a2?b2?c272?102?62113??∵cosC=≈0.807 1,
2ab2?7?10140∴C≈36°.
∴B=180°-(A+C)=180°-(44°+36°)=100°. [教师精讲]
(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出. (2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.
【例2】在△ABC中,已知a=2.730,b=3.696,c=82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到1′).
分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在
第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好.
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解：由c=a+b-2abcosC=2.730+3.696-2×2.730×3.696×cos82°28′, 得c≈4.297.
b2?c2?a23.6962?4.2972?2.7302?∵cosA=≈0.776 7,
2bc2?3.696?4.297∴A≈39°2′.
∴B=180°-(A+C)=180°-(39°2′+82°28′)=58°30′. [教师精讲]
通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦. 【例3】在△ABC中,已知A=8,B=7,B=60°,求C及S△ABC.
分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用正弦定理求出边C,而三角形面积由公式S△ABC=
1acsinB可以求出. 22
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若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b=c+a-2cacosB建立关于C的方程,亦能达到求C的目的. 下面给出两种解法. 解法一:由正弦定理得
87, ?sinAsin60?∴A1=81.8°,A2=98.2°, ∴C1=38.2°,C2=21.8°.
7c,得c1=3,c2=5, ?sin60?sinC11∴S△ABC=ac1sinB?63或S△ABC=ac2sinB?103.
22由
解法二:由余弦定理得b=c+a-2cacosB, 22
∴7=c+8-2×8×ccos60°,
2
整理得c-8c+15=0, 解之,得c1=3,c2=5.∴S△ABC=
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11ac1sinB?63或S△ABC= ac2sinB?103. 22 [教师精讲]
在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.
综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之. 课堂练习
1.在△ABC中:
(1)已知c=8,b=3,b=60°,求A; (2)已知a=20,bB=29,c=21，求B;
(3)已知a=33,c=2,b=150°,求B; (4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A.
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解： (1)由a=b+c-2bccosA，得a=8+3-2×8×3cos60°=49.∴A=7.
c2?a2?b2202?212?292?0.∴B=90°. (2)由cosB?,得cosB?2ca2?20?21(3)由b=c+a-2cacosB,得b=(33)+2-2×33×2cos150°=49.∴b=7.
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b2?c2?a2(2)2?(3?1)2?222(4)由cosA?,得cosA?.∴A=45°. ?2bc222(3?1)评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题
效率.
2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°). (1)a=31,b=42,c=27; (2)a=9,b=10,c=15.
b2?c2?a2422?272?312解：(1)由cosA?,得cosA?≈0.675 5,∴A≈48°.
2bc2?42?27c2?a2?b2312?272?422?由cosB?≈-0.044 2,∴B≈93°.
2ca2?31?27∴C=180°-(A+B)=180°-(48°+93°)≈39°.
102?152?92b2?c2?a2,得cosA?(2)由≈0.813 3,
2?10?152bc∴A≈36°.
c2?a2?b2152?92?102?由cosB?≈0.763 0,
2ca2?9?15∴B≈40°.
∴C=180°-(A+B)=180°-(36°+40°)≈104°.
评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力. 课堂小结
通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题:
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形． 布置作业
课本第8页练习第1（1）、2（1）题.
板书设计 余弦定理 1.余弦定理 2.证明方法: 3.余弦定理所能解决的两类问题: (1)平面几何法; (1)已知三边求任意角; (2)向量法 (2)已知两边、一角解三角形 4.学生练习