发布时间 : 星期二 文章北师大版数学[中考总复习：图形的相似--知识点整理及重点题型梳理](提高)更新完毕开始阅读
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北师大版数学中考总复习
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
中考总复习：图形的相似--知识讲解（提高）
【考纲要求】
1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．
2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题． 3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．
4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置． 【知识网络】
相似多边形的特征相似的图形概念1.定义识别方法图形的相似2.两角对应相等3.两边对应成比例且夹角相等4.三边对应成比例相似三角形性质1.对应角相等2.对应边、对应中线、对应角平分线、 对应高线、周长的比等于相似比3.面积的比等于相似比的平方应用:解决实际问题位似用坐标来确定位置图形与坐标图形的运动与坐标
【考点梳理】
考点一、比例线段
1. 比例线段的相关概念
如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是
am?，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项. bn在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.
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如果作为比例内项的是两条相同的线段，即中项.
2、比例的性质
（1）基本性质：①a：b=c：d?ad=bc ②a：b=b：c?b?ac. （2）更比性质（交换比例的内项或外项）
2ab?或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例bcab?（交换内项） cdacdc?? ?（交换外项） bdbadb ?（同时交换内项和外项）
caacbd（3）反比性质（交换比的前项、后项）：???
bdacaca?bc?d（4）合比性质：?? ?bdbdacema?c?e???ma???(b?d?f???n?0)?? （5）等比性质：??bdfnb?d?f???nb 3、黄金分割
把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=
5?1AB?0.618AB. 2考点二、相似图形
1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.
也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).
2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形. 3.相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.
相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方. 4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. 5.相似三角形的性质：
(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.
(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 【要点诠释】
结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理. 6.相似三角形的判定：
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相
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等，那么这两个三角形相似. 考点三、位似图形 1.位似图形的定义：
两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心. 2.位似图形的分类：
(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外. (2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上. 3.位似图形的性质
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 【要点诠释】
位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 4.作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接截取点. 【要点诠释】
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐 标的比等于k或-k.
【典型例题】
类型一、比例线段
1. 已知三个数1,2,3,请你再添上一个(只填一个)数, 使它们能构成一个比例式,则这个数是_________.
分析：这是一道开放型试题,由于题中没有告知构成比例的各数顺序, 故应考虑各种可能位置.
【思路点拨】这是一道开放型试题,由于题中没有告知构成比例的各数顺序, 故应考虑各种可能位置. 【答案与解析】根据比例式的概念，可得：
1×3÷2=3； 22×3÷1=23 1×2÷3=23 3【总结升华】要构成一个比例式，根据比例式的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 举一反三：
【变式】将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( )
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A．菱形的各角扩大为原来的2倍 B．菱形的边长扩大为原来的2倍 C．菱形的对角线扩大为原来的2倍 D．菱形的面积扩大为原来的4倍
【答案】A.
类型二、相似图形
2. （2015?资阳）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正确结论为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【思路点拨】利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比（共底三角形的面积之比等于高之比）.
【答案】C.
【解析】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=
=
，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC=90°， ∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形， ∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°， ∴CE=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线， ∴GC=AC=MH，故②正确；
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