发布时间 : 星期六 文章2014年国赛数学建模论文-嫦娥三号更新完毕开始阅读
0 m1 M (M 0)
v1 ，则喷气发动机产生的推力为 km（ m1 为燃料消耗变化率） 受不等式， 1 km / m
的约束，产生的加速度为 1 V
设 h 为登月探测器离地球的表面高度，则登月探测器竖直运动的速度为 竖 ，加速度为 1a竖
，月球重力加速度为 g 6
根据牛顿第二定律，列出嫦娥三号运动方程式为： 1
1 /m ） - g （ km x h a 竖
1， 根据运动学方程构建空间表达式，一竖直方向向上为正方向，选取状态变量为 6（5）
x2 v竖 ， x3 a竖 ， 并 设 x4 a1 x2 a2 x2 a3 x3 u ， 则 系 统 状 态 方 程 为
0 x1 0 0 x2 0 u a3 x3 1
（6）
x (0) 0, x2 (0) v竖 0） 0（ 其中初始状态为 1， m(0) 0 ； 探 测 器 的 终 端 状 态 为 x1 (t f ) x(t f ) 0; x2 (t f ) v竖 (t f ) 0; x3 (t f ) 0
。根据方案确定找出最优 u (t ) ，使探测器着
x1 (t f ) h, x2 (t f ) 0, x3 (t f ) 0 路到最适宜的位置。使探测器从初始状态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 , x3 (0) x30 转移到终态
控制幅度 u(t ) 需要在系统偏离工作点状态的正负绝对值大小的范围内取值，即 x1 a1 0 x 0 a2 2 0 x3 0
x
i
u(t )
x，并且使性能指标 J
i
1
TT
( x Qx u ru )dt 极小， 其
中三
0
2 阶方针的任意元素都大于零。
根据性能指标，控制系统对应的哈米尔登函数为 11
（7）H xT Qx u T Ru ( Ax bu ) 22
根据最优控制的极小值原理可知 11
H min xT Qx u T Ru T ( Ax bu ) uU22 11
（8） xT Qx T Ax min(u r 1bT )T R (u r 1bT ) xi u( t ) xi 22 1 T
x, r b
i
1T
x
i
当 u r b , bT Px xi 时，达到最优控制
t
m T m(t 0 ) exp k1 (a 1 x1 a2 x2 a3 x3 (( xi ) sgn(bT Px)) dt) 其中 P 为矩阵黎卡提t0 xi , b Px xi 方程 AP PAT PBR 1 BT P Q 0 的解。 根据最优控制理论的相关知识可知
7
x, r b
i
1T
x
i
将公式
（9）
Px 带入控制量 u 的表达式可得 u r 1bT , bT Px xi
T xi , b Px xi xi , bT Px 0 当 r 0 时， xi M
（10）
故上式为 u r 1bT , bT Px 0 T
即 u ( xi ) sgn(bT Px) ，得到控制变量 u 的最优的表达式，从而得到一个完整的 xi , b Px 0
t
控制系统模型。通过公式 F km1 m (a1x1 a2 x2 a3 x3 u )dt 计算登月探探测器实时推 t
0
力大小
m m(t 0 ) exp k1
(a 1 x1 a2 x2 a3 x3 (( t
t
0
x) sgn(b
i
T
Px)) dt)
计算探测器所需燃料的质量，同时也为下一步探测器的性能做准备。
第三阶段：快速调整阶段
快速调整阶段嫦娥三号速度从 57m/s 下降到水平速度 0m/s,高度从 3000m 降到 2400m，快速调整阶段是调整探测器姿态使其在以后的过程朝竖直方向下降。 第四阶段：粗避障阶段
要求满足该阶段在关键点所处的状态为在着陆点上方 30m 处水平方向速度为 0m/s， 耗时大约 38s。
在100m 精避障阶段中，我们将高程图分成 4m 4m 小区域共 250 250 个。具体程序见附 录 1。由图 7 可知，如果探测器垂直降落，将会落至黑色区域，而黑色区域是不安全区 域。 如图 5：
8
根据距 2400m 处的数字高程图拟合出的三维图像
要求满足该阶段在关键点所处的状态为距离月面 2.4km 到 100m 区间，在设计着陆 点上方 100m 处悬停，并初步确定落月地点，耗时大约 125s。
在 2400m 粗避障阶段中，我们将所给的高程图分成100m 100m 的小区域共 25 25 个， 具体程序见附录 1。分别计算并比较每个区域所含高度 z 值的方差，若方差小，则表明 该区域高度变化不大，通过由小到大排序，得各个区域方差对比情况， 如图 6：
9
求得的结果请看如图 7：
综上，比较这些样本点的方差，根据 S
400 ( xi x) 2 得出这组数据的方差稳定性最好。 x1 2
i
第五阶段：精避障阶段
这个阶段嫦娥三号利用光敏感成像技术分析月面地形；来判断降落的大致位置，
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