发布时间 : 星期四 文章概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第四章更新完毕开始阅读
抽样检查产品质量时，如果发现有多于10个的次品，则拒绝接受这批产品.设某批产品的次品率为10%, 问至少应抽取多少个产品检查，才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9? 解答：
令X=“发现的次品数”，则X～b(n,0.1),
∴P{X>10}=0.9, 即
1-P{X≤10}=1-Φ(10-0.1nn×0.1×0.9)=0.9,
即Φ(10-0.1nn×0.1×0.9)=0.1,
∴10-0.1nn×0.1×0.9=-1.28,
解以上方程：n≈147.
总习题解答
习题1
10个人随机地进入15个房间，每个房间容纳的人数不限，设X表示有人的房间数，求E(X)(设每个人进入每个房间是等可能的，且各人是否进入房间相互独立). 解答： 设随机变量
Xi={1,第i个房间有人0,第i个房间无人(i=1,2,?,15),
则X=∑i=115Xi, 且Xi都服从同一分布，于是
P{Xi=0}=(1415)10, P{Xi=1}=1-P{Xi=0}=1-(1415)10
于是Xi服从0-1分布
Xi 01 p (1415)101-(1415)10 故 E(Xi)=1-(1415)10≈0.498 (i=1,2,?,15), E(X)=∑i=115E(Xi)=15×0.498=7.47. 习题2 某城市一天内发生严重刑事案件数Y服从以1/3为参数的泊松分布，以X记一年未发生严重刑事案件的天数，求X的数学期望. 解答： 引入随机变量 Xi={1,第i天未发生严重刑事案件0,否则,i=1,2,?,365 则X=X1+X2+?+X365. 由于P{Xi=1}=P{Y=0}=(1/3)0e-1/30!=e-1/3, 知Xi的分布律为 Xi 01 pk 1-e-1/3e-1/3 于是E(Xi)=e-1/3, 即得X的数学期望为 E(X)=∑i=1365e-1/3=365×e-1/3≈262(天).
习题3
将n只球(1～n号)随机一放进n只盒子(1～n号)中去，一只盒子装一只球. 若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为总的配对数，求E(X). 解答：
因为每只球都有两种可能，故引入随机变量
Xi={1,第i号球进入第i号盒0,反之(i=1,2,?,n),
因而，总配对数X=∑i=1nXi, 于是
E(X)=∑i=1nE(Xi),
E(Xi)=1?P{Xi=1}=1n(i=1,2,?,n),
故
E(X)=∑i=1n1n=n?1n=1.
习题4
某车间生产的圆盘其直径在区间(a,b)服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望. 解答：
设已知直径d～U(a,b), 密度为
f(x)={1b-a,a 圆盘面积S(d)=π?d24, E(S)=∫-∞∞π4x2?f(x)dx=∫abπ4x2?1b-adx=π12(a2+ab+b2). 习题5 设X和Y是相互独立且均服从标准正态分布N(0,12)的随机变量，求∣X-Y∣的数学期望. 解答： 解 设Z=X-Y，由正态分布的性质知，Z～N(0,1)，于是 E(∣X-Y∣)=E(∣Z∣)=∫-∞+∞∣z∣?12πe-z22dz =2π∫0+∞ze-z22dz=2π(-e-z22)∣0+∞ =2π. 题6 设随机变量X和Y相互独立，且都服从标准正态分布，求Z=X2+Y2的数学期望. 解答： X～N(0,1),Y～N(0,1), X和Y相互独立，X和Y的联合概率密度为 f(x,y)=12πe-x2/2?12πe-y2/2=12πe-(x2+y2)/2, 于是 E(Z)=E(X2+Y2)=12π∫-∞+∞∫-∞+∞x2+y2e-x2+y22dxdy, 利用极坐标来计算，令x=rcosθ,y=rsinθ, 得 E(Z)=12π∫02π∫0+∞r2e-r22drdθ=2π2π∫0+∞r2e-r22dr =-re-r22∣0+∞+∫0+∞e-r22dr=π2(因12π∫-∞+∞e-r22dr=1). 习题7 甲、乙两人相约于某地在12:00～13:00会面，设X,Y分别是甲、乙到达的时间，且设X和Y相互独立，已知X,Y的概率密度分别为 fX(x)={3x2,0 X和Y的联合概率密度为 f(x,y)={6x2y,0 按题意需要求的是∣X-Y∣的数学期望，即有 E(∣X-Y∣)=∫01∫01∣x-y∣6x2ydxdy=∫∫D1[-(x-y)6x2y]dxdy+∫∫D2(x-y)6x2ydxdy =112+16=14(小时)(D1,D2如图) 习题8 设某厂生产的某种产品不合格率为10%,假设生产一件不合格品，要亏损2元，每生产一件合格品，由获利10元，求每件产品的平均利润. 解答： X表示每件产品的利润，则X取-2,10, 求每件产品的平均利润，即X的数学期望. E(X)=-2×0.1+10×0.9=8.8. 习题9 投篮测试规则为每人最多投三次，投中为止，且第i次投中得分为(4-i)分，i=1,2,3. 若三次均未投中不得分，假设某人投篮测试的平均次数为1.56次. (1)求该投篮的命中率； (2)求该人投篮的平均得分. 解答： (1)设该投篮人投篮次数为X,投篮得分为Y;每次投篮命中率为p(0 X 123 pi p pq q2 E(X)=p+2pq+3q2 =p2-3p+3, 依题意p2-3p+3=1.56, 即p2-3p+1.44=0, 解得 p=0.6(p=2.4舍去). (2)Y可能取0,1,2,3四个可能值，且 P{Y=0}=q3=0.43=0.064, P{Y=1}=pq2=0.6×0.42=0.096, P{Y=2}=pq=0.6×0.4=0.24, P{Y=3}=p=0.6, E(Y)=∑i=03iP{Y=i}=2.376(分). 习题10 一台设备由三大部件构成，在设备运转中部件需调整概率为0.1,0.2,0.3, 假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的期望与方差. 解答： 解法一 设X是同时需要调整的部件数，可能值为0,1,2,3, 记pi=P{X=i}, i=0,1,2,3, 有p0=0.9×0.8×0.7=0.504, p1=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398, p2=0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9×0.2×0.3=0.092, p3=0.1×0.2×0.3=0.006, 故X的分布列为 X 0123 pk 0.5040.3980.0920.006 E(X)=0×0.504+1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6, E(X2)=02×0.504+12×0.398+22×0.092+32×0.006=0.82, D(X)=0.82-0.62=0.46. 解法二 X的取值为调整的部件数，显然为非负整数，又每一部件是否需调整只有两种可能结果(调整与不调整), 于是可引入随机变量Xi: Xi={1,第i部件需调整0,第i个部件不要调整,i=1,2,3, 则X=X1+X2+X3, 且X1,X2,X3相互独立，而Xi(i=1,2,3)服从两点分布，其分布律分别为 X1 1 0 pk 0.1 0.9 X2 1 0 pk 0.2 0.8 X3 1 0 pk 0.3 0.7 故E(X1)=0.1,D(X1)=0.09; E(X2)=0.2,D(X2)=0.16; E(X3)=0.3,D(X3)=0.21, 于是E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)=0.1+0.2+0.3=0.6; D(X)=D(X1)+D(X2)+D(X3)=0.09+0.16+0.21=0.46. 习题11