发布时间 : 星期日 文章人教A版高中数学必修4第二章平面向量章末复习课导学案更新完毕开始阅读
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第二章 平面向量
学习目标.1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用.
1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
向量运算 法则(或几何意义) 坐标运算 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 向量的线性运算 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方数乘 向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λa＝(λx1，λy1) a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b向量的数量积运算 的夹角)规定0·a＝0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积
2.两个定理
(1)平面向量基本定理
①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
a·b＝x1x2＋y1y2 .
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(2)向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 3.向量的平行与垂直
a，b为非零向量，
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b a⊥b
有唯一实数λ使得b＝λa(a≠0) x1y2－x2y1＝0 x1x2＋y1y2＝0 a·b＝0
类型一.向量的线性运算
→1→→→2→
例1.如图所示，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值
311为________.
3
答案. 11
→→
解析.设BP＝λBN，
→→→→→2→则BP＝BA＋AP＝－AB＋mAB＋AC
11→2→
＝(m－1)AB＋AC.
11→→→→1→BN＝BA＋AN＝－AB＋AC.
4
123→→
∵BP与BN共线，∴(m－1)＋＝0，∴m＝. 41111
反思与感悟.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.
→1→
跟踪训练1.在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得BD＝BC32→
＋BE，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由. 3
.
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→1→2→
解.假设存在D点，使得BD＝BC＋BE.
33→
BD＝BC＋BE
→1→2→→
?BD＝BC＋(BC＋CE)
33→2→＝BC＋CE
3
→→2→→2→?BD－BC＝CE?CD＝CE
33→2?1→?→1→
?CD＝×?CA??CD＝CA.
3?2?3
1→2→33
?→1→?所以当点D为AC的三等分点?CD＝CA?时，
3??
→
BD＝BC＋BE.
类型二.向量的数量积运算
例2.已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝3|a－kb|(k>0). (1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小. 解.(1)由|ka＋b|＝3|a－kb|， 得(ka＋b)＝3(a－kb)，
∴ka＋2ka·b＋b＝3a－6ka·b＋3kb. ∴(k－3)a＋8ka·b＋(1－3k)b＝0.
∵|a|＝cosα＋sinα＝1，|b|＝cosβ＋sinβ＝1， ∴k－3＋8ka·b＋1－3k＝0， 2k＋2k＋1
∴a·b＝＝. 8k4k2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
22
2
2
1→2→33
k2＋111(2)a·b＝＝(k＋).
4k4k11
由函数的单调性可知，f(k)＝(k＋)在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
4k11
∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝，
42
.
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a·b1
此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝＝，
|a||b|2
∴θ＝60°.
反思与感悟.数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b?x1y2－x2y1＝0， a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题 ①设a＝(x1，y1)，则|a|＝x1＋y1. ②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)
2
2
a·bx1x2＋y1y2
cos θ＝＝2 . 222
|a||b|x1＋y1 x2＋y2
→→→
跟踪训练2.已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－(3＋m)). (1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值. 解.(1)若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线， →→
∵OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)， →
OC＝(5－m，－(3＋m))，
→→
∴AB＝(3，1)，BC＝(－m－1，－m)， →→
∵AB与BC不平行，
1
∴－3m≠－m－1，解得m≠，
21
∴当实数m≠时满足条件.
2
→→→→
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则AB⊥AC，而AB＝(3，1)，AC＝(2－m，1－m)， 7
∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝. 4类型三.向量坐标法在平面几何中的应用
例3.已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.
解.建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c，0)，则B(－c，0)，
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