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X服从N(0.1, 0.01)的正态分布
⑴P{X≥0} = 1 - Φ((0-0.1)/0.1) = 1 - Φ(-1) = Φ(1) = 0.8413
⑵P{X≥0.2} = 1 - P{X<0.2} = 1 - Φ((0.2-0.1)/0.1) = 1 - Φ(1) = 0.1587 21．某银行发现存户每天的平均存款余额为10000元，标准差为2000元，且呈正态分布。求：⑴存户平均每天存款余额超过15000元的占多大百分比？ ⑵存户平均每天存款余额低于5000元的占多大百分比？
⑶存户平均每天存款余额介于8000元与12000之间的占多大百分比？
⑷银行考虑给大额存户鼓励政策，但不愿使得到此鼓励政策的比例超过10%，应规定平均每天存款余额在多少元以上可享受此鼓励政策？
X服从N(10000, 4000000)的正态分布
⑴P{X > 15000} = 1 - P{X≤15000} = 1 -Φ((15000 - 10000)/ 2000) = 1 - Φ(2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062
⑵ P{X < 5000} = Φ((5000 - 10000)/ 2000) = Φ(-2.5) = 1 - Φ(2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062
⑶ P{8000≤X≤12000} = P{X≤12000}- P{X<8000} = Φ((12000 - 10000)/ 2000) - Φ((8000 - 10000)/2000)
= Φ(1) - Φ(-1)= Φ(1) - (1 - Φ(1)) = 2 * 0.8413 – 1 = 0.6826
⑷P{X≥k} = 1 - P{X < k} = 1 - Φ((k - 10000)/2000) ≤10% Φ((k - 10000)/2000) ≥ 1 - 0.1 = 0.9 查表得Φ(1.29) = 0.9015，则 (k - 10000)/2000≥1.29 k≥12580(元)
22．某产品的重量服从于均值为500克，标准差为10克的正态分布。求：⑴重量在490－510克之间的概率； ⑵重量小于490克的概率； ⑶重量大于510克的概率； ⑷重量在498±5克之间的概率。
⑴P{490≤X≤510} = P{X≤510} - P{X≤490} = Φ((510-500)/10) - Φ((490-500)/10) =Φ(1) - Φ(-1) = Φ(1) - (1 - Φ(1)) = 2 * 0.8413 – 1 = 0.6826 ⑵P{X<490} = Φ((490-500)/10) = Φ(-1) = 1 - Φ(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587
⑶ P{X≥510} = 1 - P{X<510} = 1 - Φ((510-500)/10) = 1 - Φ(1) = 0.1587 ⑷P{498-5≤X≤498+5} = P{X≤503} - P{X≤493} = Φ((503-500)/10) - Φ((493-500)/10)
= Φ(0.3) - Φ(-0.7) = Φ(0.3) - (1 - Φ(0.7)) = Φ(0.3) + Φ(0.7) – 1 = 0.6179 + 0.7580 – 1 = 0.3759
23．设某电子产品的电阻R是一个随机变量，均匀分布在1800－2400Ω之间。求R的概率密度函数及R落在2000－2200Ω之间的概率。
⑴F(R) = 1/600,1800≤R≤2400； 0, 其它 ⑵P{2000≤R≤2200} = (2200 - 2000)/600 = 1/3
24．设一箱内有12件产品，其中2件次品，10件正品，今分别采取放回与不放回两种方式从箱中随机地抽取两次，每次取1件，定义随机变量X、Y如下： X＝
0，表示第一次取出的是正品 1，表示第一次取出的是次品 0，表示第二次取出的是正品 1，表示第二次取出的是次品
Y＝
要求：⑴分别上述两种情况，写出X与Y的联合分布律； ⑵随机变量（X，Y）的边缘分布率。
在放回情况下：
⑴联合分布律P{X=0,Y=0}=[C(10,1)/C(12,1)]* [C(10,1)/C(12,1)]=25/36
X,Y 0 1 P{Y=k} 0 25/36 5/36 5/6 1 P{X=k} 5/36 5/6 1/36 1/6 1/6 ⑵边缘分布律P{X=0}=[C(10,1)/C(12,1)]=5/6 P{Y=1}=[C(2,1)/C(12,1)]=1/6 在不放回情况下：
设P(X) = {第一次抽到的产品}，P(Y|X) = {第二次抽到的产品} P(XY) = P(X) * P(Y|X)
⑴联合分布律P{X=0,Y=0} = [C(10,1)/C(12,1)] * [C(9,1)/C(11,1)] = 15/22
X,Y 0 1 P{Y=k} 0 15/22 5/33 5/6 5/33 1/66 1/6 1 P{X=k} 5/6 1/6 ⑵边缘分布律P{X=0} = [C(10,1)/C(12,1)] = 5/6 P{Y=1} = 5/33 + 1/66 = 1/6
25．已知某投资项目的收益率R是一随机变量，其分布如下表所示。 R Pi 1% 0.1 2% 0.1 3% 0.2 4% 0.3 5% 0.2 6% 0.1 一位投资者在该项目上投资10万元。求他预期获得多少收入？收入的方差是多大？
R的数学期望E(R)= ∑(R * P)
= 1% * 0.1 + 2% * 0.1 + 3% * 0.2 + 4% * 0.3 + 5% * 0.2 + 6% * 0.1 = 3.7% 则预期收入 = 100000 * 3.7% = 3700(元) E(R^2)= ∑(R^2 * P)
= 1%^2 * 0.1 + 2%^2 * 0.1 + 3%^2 * 0.2 + 4%^2 * 0.3 + 5%^2 * 0.2 + 6%^2 * 0.1 = 0.157%
收入的方差D(R) = E(R^2) - [E(R)]^2 = 0.157 - 3.7%^2 = 0.0201%
26．一张贴现债券（期中不付息，期末还本付息的债券）承诺到期还本付息共偿还1100元。根据分析，市场上同类债券的收益率为一随机变量，记作x%，设x的密度函数为： f(x) =
1/5，0≤x≤5 0, 其它
求这张债券现在平均值多少钱？
债券的收益率服从于[0,5]的均匀分布，则
债券的期望收益率E(X) = (a + b)/2 = (0 + 5%) = 2.5% 设这张债券现在平均值Y元，则 Y = 1100/(1 + 2.5%) = 1073.17 或
E(Y)=∫[-∞,+∞](1100/(1 + x%) * 1/5 * dx) =∫[0,5](1100/(1 + x%) * 1/5 * dx) = 22000 * ln(100 + x)|[0,5] = 22000 * (ln105 - ln100) = 22000 * ln(105/100) = 22000 * ln1.05 = 1073.38(元) 27.设随机变量X的概率密度为：
x, 0 < x ≤ 1 2 – x, 1 < x < 2 0, 其它
f(x) =
求E(X)、E(X^2)和D(X)。
E(X)= ∫[-∞,+∞]x * f(x)dx =∫[0,1]x^2dx + ∫[1,2]x * (2 - x)dx = 1/3 * x^3|[0,1] + (x^2 – 1/3 * x^3)|[1,2] = 1
E(X^2)= ∫[-∞,+∞](x^2) * f(x)dx = ∫[0,1]x^3dx + ∫[1,2]x^2 * (2 - x)dx = 1/4 * x^4|[0,1] + (2/3 * x^3 – 1/4 * x^4)|[1,2] = 7/6
D(X) = E(X^2) – (E(X))^2 = 7/6 – 1 = 1/6
28.某学校3000名学生参加平安保险，每人每年向保险公司交付疾病或意外伤害死亡保险费15元。如果某学生在这一年内死亡，则其家长可从保险公司领取保险金额5000元。假设每名学生在这一年内死亡的概率为0.001，求：⑴保险公司在这一年内亏损的概率； ⑵保险公司在这一年内获得不少于20000元的概率。
以X记3000名参加保险的学生中一年内意外死亡的人数，则X～B(3000,0.001)。因此， P{5000X > 3000 * 15}表示保险公司亏损的概率；
P{3000 * 15 – 5000 * X≥20000}表示保险公司一年的利润不低于20000元的概率，由于n = 3000比较大，所以根据德莫彿－拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)中心极限定理得：
⑴P{5000 * X > 3000 * 15} = P{X > 9}
= P{(X – n * p)/[(n * p * (1 - p))^0.5] > (9 – n * p)/[(n * p * (1 - p))^0.5]} = P{(X – 3000 * 0.001)/[(3000 * 0.001 * 0.999)^0.5] > (9 – 3)/(2.997^0.5)} = P{(X - 3)/(2.997^0.5) > 6 / (2.997^0.5)} = 1 - Φ(3.47) = 1 – 1 = 0