发布时间 : 星期三 文章2015年浙江省高考数学试卷(理科)解析更新完毕开始阅读
中档题． 15．（6分）（2015?浙江）已知
是空间单位向量，
，若空间向量满足
，且对于任意x，y∈R，
，则x0= 1 ，
y0= 2 ， 考点： 空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算． 专题： 创新题型；空间向量及应用． 分析： 由题意和数量积的运算可得＜?＞=，不妨设|= 2 ．
=（，|=（x+22，0），2=（1，0，0），由已知可解=（，22，t），可得|﹣（）+（y﹣2）22+t，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+|． |||cos＜?＞=cos＜?）+（y﹣2）+t取最小值1，由模长公式可得解答： 解：∵?∴＜?=|＞=＞=， =（1，0，0），=（m，n，t）， ，∴=（，，，不妨设=m+=（，n=2，，0），则由题意可知t）， ∵﹣（∴|﹣（22=m=，解得m=，n=）=（﹣x﹣y，|=（﹣x﹣y）+（2222，t）， ）+t 2222=x+xy+y﹣4x﹣5y+t+7=（x+由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+此时t=1，故2）+（y﹣2）+t， ）+（y﹣2）+t取最小值1， =2 222|=故答案为：1；2；2 点评： 本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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16．（14分）（2015?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=b﹣a=c．
（1）求tanC的值； （2）若△ABC的面积为3，求b的值． 考点： 余弦定理． 专题： 解三角形． 分析： （1）由余弦定理可得：，
222
，已知b﹣a=c．可得，即可得出tanC=×=3，可得c，即可得出b． ，∴b﹣a=， 22222，． a=（2）由．利用余弦定理可得cosC．可得sinC==，∴由余弦定理可得：222解答： 解：（1）∵A=22bc﹣c， 2又b﹣a=c．∴bc﹣c=c．∴b=c．可得∴a=b﹣22=，即a=． ∴cosC===． ∵C∈（0，π）， ∴sinC=∴tanC=（2）∵解得c=2∴． =3． =2． =×=3， =． 点评： 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（15分）（2015?浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点． （1）证明：A1D⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．
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考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析： （1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过?=?=0及线面垂直的判定定理即得结论； （2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可． 解答： （1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系． 则BC=AC=2，A1O==， 易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0）， A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，）， =（0，﹣=（﹣∵又∵??，0），=（﹣=（﹣2，﹣，）， =（0，0，）， ，0，0），，0，0），=0，∴A1D⊥OA1， =0，∴A1D⊥BC， 又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC； （2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z）， 由，得， 取z=1，得=（，0，1）， 设平面B1BD的法向量为=（x，y，z）， 由，得， 第15页（共21页）
取z=1，得=（0，∴cos＜，＞=又∵该二面角为钝角， ，1）， ==， ∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣． 点评： 本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题． 18．（15分）（2015?浙江）已知函数f（x）=x+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．
（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；
（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值． 考点： 二次函数在闭区间上的最值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明； （2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值． 解答： 解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣， 2
因为|a|≥2，所以或≥1， 所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调， 所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}， 所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2； （2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意； 又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意， 所以|a|+|b|的最大值为3． 第16页（共21页）
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