发布时间 : 星期一 文章2017-2018学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算教学案北师大版选修2-1更新完毕开始阅读
uuuruuuruuuruuurAC·BA1ruuur ∴cos〈AC，BA1〉＝uuu|AC|·|BA1|＝
1，1，0·－1，0，1
2×2
1＝－.
2
uuuruuur∴〈AC，BA1〉＝120°.故AC与BA1的夹角为60°.
ruuurruuuruuuuuuruuuuruuu法二∵BA1＝BA＋BB1，AC＝AB＋BC，
rruuuruuuuuuruuuuuuruuuur∴BA1·AC＝(BA＋BB1)·(AB＋BC) ruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuuuruuu＝BA·AB＋BA·BC＋BB1·AB＋BB1·BC. ∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
rruuuruuuruuuuruuuuuuuruuu∴BA·BC＝0，BB1·AB＝0，BB1·BC＝0，
ruuuruuu2
∴BA1·AC＝－a.
ruuurruuuruuuuuuruuuruuu又∵BA1AC＝|BA1|·|AC|·cos〈BA1，AC〉， ruuuruuu∴cos〈BA1，AC〉＝1＝－.
22a·2a－a2
ruuuruuu∴〈BA1，AC〉＝120°.
故异面直线BA1与AC的夹角为60°.
3.如右图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠PAD＝60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标； (2)求异面直线PA与BC夹角的余弦值． 解：(1)如右图建立空间直角坐标系，
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2， ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．
在Rt△PAD中，由AD＝2，∠PAD＝60°得PD＝23， ∴P(0,0,23)．
uuuruuur(2)由(1)得PA＝(2,0，－23)，BC＝(－2，－3,0)，
ruuuruuuruuuruuuPA·BCr ruuu∴cos〈PA，BC〉＝uuu|BA||BC|＝
2×－2＋0×－3＋
413
－23
×013＝－.
13
故异面直线PA与BC夹角的余弦值为
13. 13
求两平面的夹角
[例2] 如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2，求平面
PAB与平面PBC的夹角的余弦值．
[思路点拨] 建立空间直角坐标系，利用法向量进行求解． [精解详析] 如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，1,0)，
uuuruuuruuurC(0,1,0)，P(0,0,1)，AP＝(0,0,1)，AB＝(2，1,0)，CB＝(2，
uuur0,0)，CP＝(0，－1,1)．
设平面PAB的法向量为
m＝(x，y，z)，
uuur??m⊥AP，则?uuur??m⊥AB，
uuur??m·AP＝0，即?uuur??m·AB＝0，
?x，y，z·0，0，1＝0，
∴?
2，1，0＝0.?x，y，z·
∴?
?y＝－2x，
?z＝0.
令x＝1，得m＝(1，－2，0)，
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
uuur??n⊥CB，则?uuur??n⊥CP，uuur??n·CB＝0，即?uuur??n·CP＝0，
∴?
2，0，0＝0，?x′，y′，z′·
?x′，y′，z′·0，－1，1＝0.
?x′＝0，?
∴?
??y′＝z′.
令y′＝1，∴n＝(0,1,1)． ∴cos〈m，n〉＝
m·n3
＝－.
|m||n|3
?π?而平面PAB与平面PBC夹角∈?0，?
2??
∴平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为[一点通]
求两平面的夹角有两种方法：
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉
3
. 3
?当〈n，n〉∈?0，π?时?或π－〈n，n〉?当〈n，n〉∈?π，π?时?. ?12???12?12?2??2????????
4．在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC1
＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA夹角的余弦值．
2
?1?解：建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D?，0，0?，C(1,1,0)，S(0,0,1)，?2?
uuur?1
?平面SAB的一个法向量是AD＝?，0，0?.设n＝(x，y，z)是面SCD的一个法向量，则n?2?
uuuruuuruuuruuur⊥DC，n⊥DS，即n·DC＝0，n·DS＝0.
uuur?1uuur?1
??又DC＝?，1，0?，DS＝?－，0，1?，
?2??2?
11
∴x＋y＝0，且－x＋z＝0. 2211∴y＝－x，且z＝x.
22∴n＝?x，－，?，
22??11??取x＝1，得n＝?1，－，?.
22??
?
xx?
uuuruuurAD·nr∴cos〈AD，n〉＝uuu＝| AD|·|n|1×
2
∴平面SCD与平面SBA夹角的余弦值为
6. 3
12
6＝. 1131＋＋44
5．(陕西高考)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝2.
(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；
(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．
解： (1)证明：法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AB＝AA1＝2， ∴OA＝OB＝OA1＝1，
∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．
ruuuuruuu由A1B＝AB，易得B1(－1,1,1)．
uuuruuuuruuuur∵A1C＝(－1,0，－1)，BD＝(0，－2,0)，BB1＝(－1,0,1)，
ruuuuruuuuuuuruuuur∴A1C·BD＝0，A1C·BB1＝0，
∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1， 又BB1∩BD＝B， ∴A1C⊥平面BB1D1D.
法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD. 又四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.